La topología de $L_\mathrm{loc}^2 (\mathbb{R})$

Question

De hecho, estoy leyendo el libro de Ohsawa, Análisis de varias variables complejas y me encontré con esta línea en la página 13,

... $L^{2}_\mathrm{loc}(\Omega)$ con respecto a la topología inducida por el $L^2$ convergencia en conjuntos compactos.

Sin embargo, no tengo claro cómo inducir una topología de. Tengo una suposición. En lo siguiente estoy considerando el caso $\Omega=\mathbb{R}$ . Definir $||f||_n=\int_{-n}^n |f|$ para $f\in L^2_\mathrm{loc}(\mathbb{R}), n=1,2,3,\ldots$ . Poner $$||f||=\sum\limits _{n=1}^\infty\frac{||f||_n}{1+||f||_n} \frac{1}{2^n}.$$ Entonces $||\cdot||$ es una métrica para $L_\mathrm{loc}^2 (\mathbb{R}) $ . ¿Es esta topología? ¿O algo más? ¿Sería alguien tan amable de darme alguna pista al respecto? Muchas gracias.

Answer 1

Aunque es bueno tener una métrica, a menudo no es muy útil. Por ejemplo, si $\Omega \subseteq \mathbb R^d$ está abierto, $C^\infty(\Omega)$ se le puede dar una métrica que lo convierta en un espacio de Fréchet, pero es mucho Es más sencillo (y a menudo más útil) indicar cuál es el modo de convergencia en el espacio: convergencia uniforme de $f_n$ y todas sus derivadas en subconjuntos compactos de $\Omega$ .

En el lenguaje de los espacios vectoriales topológicos, podemos decir que estamos especificando la topología en $C^\infty(\Omega)$ como la topología inicial con respecto a las seminormas $\lVert f\rVert_{K,\alpha} := \sup_{x \in K}|D^\alpha f(x)|$ , donde $K$ abarca los subconjuntos compactos de $\Omega$ y $\alpha$ abarca los multiíndices en $\mathbb N_0^d$ .

Contrasta esto con lo difícil que es trabajar con una métrica en el espacio: primero tenemos que encontrar una familia contable de conjuntos compactos anidados $(K_n)$ que agotan $\Omega$ que no existe una forma canónica de hacerlo. Entonces tenemos que definir nuestra métrica como (algo así) $$d(f,g) := \sum_{n=1}^\infty 2^{-n}\min\{\sup\limits_{x\in K_n} \max\limits_{|\alpha| \leq n} \left|D^\alpha (f-g)\right|,1\},$$

y creo que todos podemos ver que probar que la topología producida por esta métrica es independiente de la elección del $K_n$ es bastante molesto.

En otras palabras, aunque tu construcción sí funciona, no tiene sentido: Sólo decir que $L^2_{\mathrm{loc}}$ tiene la topología de $L^2$ -en subconjuntos compactos de $\mathbb R^n$ es suficiente para especificar simultáneamente la topología y describir su característica más útil.