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La topología de L2loc(R)

De hecho, estoy leyendo el libro de Ohsawa, Análisis de varias variables complejas y me encontré con esta línea en la página 13,

... L2loc(Ω) con respecto a la topología inducida por el L2 convergencia en conjuntos compactos.

Sin embargo, no tengo claro cómo inducir una topología de. Tengo una suposición. En lo siguiente estoy considerando el caso Ω=R . Definir ||f||n=nn|f| para fL2loc(R),n=1,2,3, . Poner ||f||=n=1||f||n1+||f||n12n. Entonces |||| es una métrica para L2loc(R) . ¿Es esta topología? ¿O algo más? ¿Sería alguien tan amable de darme alguna pista al respecto? Muchas gracias.

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muerte Puntos 1474

Aunque es bueno tener una métrica, a menudo no es muy útil. Por ejemplo, si ΩRd está abierto, C(Ω) se le puede dar una métrica que lo convierta en un espacio de Fréchet, pero es mucho Es más sencillo (y a menudo más útil) indicar cuál es el modo de convergencia en el espacio: convergencia uniforme de fn y todas sus derivadas en subconjuntos compactos de Ω .

En el lenguaje de los espacios vectoriales topológicos, podemos decir que estamos especificando la topología en C(Ω) como la topología inicial con respecto a las seminormas , donde K abarca los subconjuntos compactos de \Omega y \alpha abarca los multiíndices en \mathbb N_0^d .

Contrasta esto con lo difícil que es trabajar con una métrica en el espacio: primero tenemos que encontrar una familia contable de conjuntos compactos anidados (K_n) que agotan \Omega que no existe una forma canónica de hacerlo. Entonces tenemos que definir nuestra métrica como (algo así) d(f,g) := \sum_{n=1}^\infty 2^{-n}\min\{\sup\limits_{x\in K_n} \max\limits_{|\alpha| \leq n} \left|D^\alpha (f-g)\right|,1\},

y creo que todos podemos ver que probar que la topología producida por esta métrica es independiente de la elección del K_n es bastante molesto.

En otras palabras, aunque tu construcción sí funciona, no tiene sentido: Sólo decir que L^2_{\mathrm{loc}} tiene la topología de L^2 -en subconjuntos compactos de \mathbb R^n es suficiente para especificar simultáneamente la topología y describir su característica más útil.

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