Aunque es bueno tener una métrica, a menudo no es muy útil. Por ejemplo, si Ω⊆Rd está abierto, C∞(Ω) se le puede dar una métrica que lo convierta en un espacio de Fréchet, pero es mucho Es más sencillo (y a menudo más útil) indicar cuál es el modo de convergencia en el espacio: convergencia uniforme de fn y todas sus derivadas en subconjuntos compactos de Ω .
En el lenguaje de los espacios vectoriales topológicos, podemos decir que estamos especificando la topología en C∞(Ω) como la topología inicial con respecto a las seminormas ‖ , donde K abarca los subconjuntos compactos de \Omega y \alpha abarca los multiíndices en \mathbb N_0^d .
Contrasta esto con lo difícil que es trabajar con una métrica en el espacio: primero tenemos que encontrar una familia contable de conjuntos compactos anidados (K_n) que agotan \Omega que no existe una forma canónica de hacerlo. Entonces tenemos que definir nuestra métrica como (algo así) d(f,g) := \sum_{n=1}^\infty 2^{-n}\min\{\sup\limits_{x\in K_n} \max\limits_{|\alpha| \leq n} \left|D^\alpha (f-g)\right|,1\},
y creo que todos podemos ver que probar que la topología producida por esta métrica es independiente de la elección del K_n es bastante molesto.
En otras palabras, aunque tu construcción sí funciona, no tiene sentido: Sólo decir que L^2_{\mathrm{loc}} tiene la topología de L^2 -en subconjuntos compactos de \mathbb R^n es suficiente para especificar simultáneamente la topología y describir su característica más útil.