No estoy seguro de que esto siga siendo útil, pero esto es lo que yo entiendo por el modelo de Quillen. Todo lo correcto que escribo a continuación, lo aprendí de John Francis. (Probablemente en la misma conferencia que Theo mencionó en su comentario anterior.) Cualquier error no es su culpa---más bien un error en mi comprensión.
Antes de empezar: Quillen contra Sullivan.
Como otros han mencionado, Quillen te da un álgebra de Lie DG, mientras que el modelo de Sullivan te dará un álgebra DG conmutativa. Tal y como escribes, el paso de una a otra es (casi) la dualidad de Koszul. Realmente, un álgebra de Lie te dará una álgebra de carbón cocomutativa por dualidad de Koszul, y un álgebra conmutativa te dará un álgebra de coLie. Se puede tender un puente entre el mundo de las álgebras de carbón y el de las álgebras cuando se dan algunas condiciones de finitud; por ejemplo, si los grupos racionales de homotopía son de dimensión finita en cada grado. En ese caso, basta con tomar los duales lineales para pasar de las álgebras a las álgebras.
Una forma de encontrar álgebras de Lie.
Entonces, ¿de dónde vienen las álgebras de Lie (DG)? Hay un lugar natural donde se encuentran las álgebras de Lie, antes de conocer el modelo de Quillen: Las álgebras de Lie surgen como el espacio tangente (en la identidad) de un grupo de Lie $G$ .
Ahora bien, si eres un algebrista, puedes alegar otro origen de las álgebras de Lie: si tienes cualquier tipo de álgebra de Hopf, puedes mirar las primitivas del álgebra de Hopf. Éstas siempre forman un álgebra de Lie.
(Recordemos que un álgebra de Hopf tiene un coproducto $\Delta: H \to H \otimes H$ y una primitiva de $H$ se define como un elemento $x$ tal que $\Delta(x) = 1 \otimes x + x \otimes 1.$ )
Un vínculo entre la fuente algebraica de las álgebras de Lie y la geométrica es que muchas álgebras de Hopf surgen como funciones sobre grupos finitos. Si se está versado en álgebra, un lugar natural para encontrar álgebras de Lie, entonces, sería tomar un grupo finito, tomar funciones sobre ese grupo, y luego tomar primitivas.
Una relación más fría surge cuando un geómetra mira distribuciones cerca de la identidad de $G$ (que son duales a las "funciones sobre $G$ ') en lugar de las propias funciones. Esto no es tan obviamente lo que hay que mirar en el ejemplo de los grupos finitos, pero si crees que las funciones sobre un grupo de Lie $G$ son como formas de Rham en $G$ entonces creerías que algo como 'los duales a funciones en $G$ ' (que están más cerca de los campos vectoriales) salvaguardarían de alguna manera la estructura del álgebra de Lie. La cuestión es que hay que esperar que las estructuras de Lie surjan de cosas que parecen "duales de funciones en un grupo". Así que uno debería tomar las 'distribuciones' como el álgebra de Hopf en cuestión, y mirar sus primitivas para encontrar el álgebra de Lie de los 'campos vectoriales'.
Un resumen (fantástico) del modelo Quillen.
Supongamos por un momento que su espacio $X$ resulta ser igual a $BG$ para algún grupo de Lie, y se quiere hacer un álgebra de Lie con ella. Entonces, por lo anterior, lo que podrías hacer es tomar $\Omega X = \Omega B G = G$ y, a continuación, se observan las primitivas del álgebra de Hopf conocidas como `distribuciones sobre $\Omega X$ '.
Ahora, en lugar de considerar sólo los grupos de Lie, vamos a creer en un mundo de fantasía (luego hecho realidad) en el que todas las heurísticas que esbocé para un grupo de Lie $G$ también funcionará para un espacio de bucle basado $\Omega Y$ . Un espacio de bucles es "como un grupo" porque tiene un espacio de multiplicaciones, todas invertibles (hasta la homotopía). Además, cualquier espacio $X$ es el $B$ (espacio clasificatorio) de un espacio de bucle, $X \cong B \Omega X$ . Así que esto nos dará una forma de asociar un álgebra de Lie a cualquier espacio, si se cree en la fantasía.
Siguiendo ciegamente la analogía, las `funciones en $\Omega X$ ' es como las cocheras en $\Omega X$ y el dual de éste (es decir, las distribuciones) es ahora cadenas en $\Omega X$ . Es decir, $C_\bullet \Omega X$ debería tener la estructura de lo que parece un álgebra de Hopf. Y sus primitivas deberían ser el álgebra de Lie que buscas.
Lo que hace Quillen.
Si esa es la historia, ¿qué más hay? Por supuesto, está la fantasía, que tengo que explicar. Los espacios de bucle no son en absoluto grupos de Mentira. Sus productos tienen $A_\infty$ estructura, y en consecuencia, deberíamos hablar de cosas como homotopía Álgebras de Hopf, no álgebras de Hopf en la nariz. Lo que hace Quillen no es ocuparse de todos los problemas de coherencia, sino cambiar los modelos de los objetos con los que trabaja.
Por ejemplo, se puede obtener un simplicial real grupo fuera de un espacio $X$ por la construcción de Kan $G$ . Este es un modelo para el espacio de bucle $\Omega X$ y esto es lo que mira Quillen en lugar de mirar sólo $\Omega X$ que es demasiado endeble. A partir de esto, tomando las álgebras de grupo sobre $\mathbb{Q}$ y completando (son las cadenas simpliciales, es decir, las distribuciones), obtiene álgebras de Hopf simpliciales completadas. De nuevo, en lugar de intentar precisar mi fantasía en un mundo en el que hay que tratar con estructuras algebraicas superiores (homotopía hasta la homotopía, etc.), utiliza este bonito modelo simplicial. Para completar la historia, toma primitivas de nivel, obteniendo álgebras de Lie DG.
Editar: Esto es del comentario de Tom más abajo. Para recuperar un $k$ -grupo conectado o un $k$ -de la álgebra de Lie asociada $k$ -álgebra de Hopf completa conectada, se necesita $k \geq 0$ . Y $k$ -los grupos conectados corresponden a $k+1$ -espacios conectados. Por eso se necesitan espacios simplemente conectados en la equivalencia.
No estoy seguro de haber dado ningún "concepto elevado" de "por qué funciona la construcción de Quillen", pero esto es al menos una hoja de ruta que puedo recordar.
