Compacto submanifolds de $\mathbb{R}^n$ sin límite

Question

Estoy teniendo un poco de problemas para ver cómo hacer el Ejercicio 7.5 Lee Suave Colectores:

Deje $M$ ser un suave compacto colector. Muestran que no hay ningún sumersión $F:M\rightarrow\mathbb{R}^k$ cualquier $k>0$.

Si $F:M\rightarrow\mathbb{R}^k$ fueron una inmersión, a continuación,$\dim(M)\geq k$. Esto descarta cosas como $\mathbb{S}^{k-1}\hookrightarrow\mathbb{R}^k$. Se aproxima otra manera, $\mathbb{B}^k\hookrightarrow\mathbb{R}^k$ es una inmersión, pero el open de bola de $\mathbb{B}^k$ no es compacto. Parece que lo que está pasando es que, puesto que la imagen de $F$ sería un compacto, por lo tanto cerrado, subconjunto de $\mathbb{R}^k$ si $F(M)$ fueron "$k$-dimensional" requeriría $M$ a de haber sido un colector con límite, el cual no está permitido. Sin embargo, no estoy seguro de cómo llenar los vacíos que aquí / hacer riguroso.

En un posiblemente nota relacionada: ¿Es posible tener una inmerso compacto $k$-submanifold de $\mathbb{R}^k$?

Answer 1

Inundaciones son mapas abiertos; pero la imagen de $M$ es compacto en un espacio de Hausdorff, y por lo tanto cerrado como bien. Así que es un clopen conjunto no vacío. Desde $\mathbf{R}^n$ está conectado, es el todo. Pero, a continuación, $\mathbf{R}^n$ es el cociente de un espacio compacto, por lo que es compacto, lo cual no es cierto.