Límite superior del área en la esfera

Question

Considere la esfera $\mathbb{S}^{n-1}:= \{x \in \mathbb{R}^n : \|x\|_2=1\}$ y que $A^\epsilon_x:= \{z \in \mathbb{S}^{n-1}:\langle z,x \rangle \ge \epsilon\}$ donde $x \in \mathbb{S}^{n-1}$ . Tenga en cuenta que $A^\epsilon_x$ es ligeramente inferior a la mitad de $\mathbb{S}^{n-1}$ (si $\epsilon=0$ sería exactamente la mitad).

Sólo nos preocupa el área/volumen de $A^\epsilon_x$ Así pues, el $x$ es arbitrario y dejaré de lado el subíndice.

En mi lectura me encontré con esta afirmación:

Para todos $\epsilon \in (0,1/\sqrt{2})$ , $$\mathbb{P}(A^\epsilon) \le (1-\epsilon^2)^{n/2}.$$

[La distribución de probabilidad es la distribución uniforme].

¿Cómo se demuestra esta afirmación?

Answer 1

Dejemos que $x = (1,0,0,0,\ldots)$ . Se desea la fracción de esfera con $x_1 \geq \epsilon$ . Esto significa que todas las demás coordenadas son como máximo $\sqrt{1 - \epsilon^2}$ por el teorema de Pitágoras. El volumen es como máximo el de una caja rectangular circundante de dimensiones $(1-\epsilon)$ en el $x_1$ dirección y $(1-\epsilon^2)^{1/2}$ en el otro $n-1$ direcciones. Este límite superior del volumen de la caja es

$V \leq (1-\epsilon){(1-\epsilon^2)}^\frac{n-1}{2} \leq (1-\epsilon^2)^{n/2}$

Esto es casi lo que pediste, excepto que es la fracción de volumen, no la superficie.