Expectativa de tiempo de parada en un paseo aleatorio

Question

Supongamos que $X_1 , X_2 , \cdots$ son i.i.d. con distribución Bernouli $(\frac{1}{2})$ es decir, $P(X_i = 0)=P(X_i=1)=\frac{1}{2}$ . Denote $S_0 := 0$ , $S_n := \sum\limits_{i=1}^n X_i$ y $\tau_{1000} := inf\{ n \ge 1 : S_n = 1000 \}$ . Necesito encontrar $\mathbb{E}[\tau_{1000}]$ .

Esta es la forma en que intenté resolver esto:

$\mathbb{E}[\tau_{1000}] = \sum\limits_{k\ge 1000} k \; {k-1 \choose 999} \; (\frac{1}{2})^{999} \; (\frac{1}{2})^{(k-1)-999}$ .

No estoy seguro de si tengo que considerar la posibilidad de $\mathbb{E}[\tau_{1000}] = \infty$ y si mi enfoque es sólido.

Answer 1

Piensa en esto: $\tau_1=G_1$ , donde $G_1$ es geométrico con el parámetro $\frac 12$ . Continúa de forma inductiva:

$$\tau_{n+1} = \tau_n + G_{n+1},$$

donde $G_{n+1}$ es geométrico con el parámetro $\frac 12$ independientemente de $\tau_n$ .

Por lo tanto, para cada $n\ge 1$ , $\tau_n$ es la suma de $n$ Geométrico independiente con parámetro $\frac 12$ . En particular, dado que $E G_1=2$ tenemos

$$E \tau_n = n E G_1 =2n.$$

Answer 2

Parece que estás contando de más... La secuencia $(1, 1, \dots \text{ <<996 more "1"s>> } \dots, 1, 1, 0)$ se incluye en su $k=1$ cuenta, aunque ese paseo se detuvo cuando $k=0$ . En realidad se requiere que el último $X_i$ es $1$ , por lo que sólo hay que dispersar $999$ $1$ s en la secuencia anterior.