Formas de igualdad integral

Question

Estoy tratando de resolver esta igualdad integral sin embargo creo que no hay una forma cerrada para el valor de a que la satisfaga. Sin embargo no sé cómo crear una suma que converja relativamente rápido. Esto es lo que he conseguido: $$\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}\frac{\left(1-t^{x}\right)}{1-t}dt\right)dx=\int_{0}^{1}\frac{\left(1-t^{a}\right)}{1-t}dt$$ $$\int_{0}^{1}\frac{1-t+\ln\left(t\right)}{\left(1-t\right)\ln\left(t\right)}dt-\int_{0}^{1}\frac{\left(1-t^{a}\right)}{1-t}dt=0$$ $$\int_{0}^{1}\left(\frac{1-t+\ln\left(t\right)}{\left(1-t\right)\ln\left(t\right)}-\frac{\left(1-t^{a}\right)}{1-t}\right)dt=0$$

Answer 1

$$\int_0^1 \frac{1-t^x}{1-t} \, dt=H(x)$$ $H(x)$ es el número armónico

$$H(n)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx$$

Se puede demostrar que $H(x)=\psi ^{(0)}(x+1)+\gamma$

donde $\psi ^{(0)}$ es el función poligamma $$\int_0^1 \int_0^1 \frac{1-t^x}{1-t} \, dt= \int_0^1H_x \, dx=\gamma$$ RHS es $$\int_0^1 \frac{1-t^a}{1-t} \, dt=H(a)$$ por lo tanto la igualdad es verdadera si $$H(a)=\gamma$$ $$\psi ^{(0)}(a+1)+\gamma =\gamma$$ $$\psi ^{(0)}(a+1)=0$$ No existe una forma cerrada para la inversa de la función poligamma, así que encontré un valor aproximado para el positivo $a$ $$a\approx 0.461632$$

Editar

$\psi (1)=-\gamma;\;\psi (2)=1-\gamma$

por lo tanto, existe $a\in (0,1)$ tal que $\psi^{(0)}(a+1)=0$

Con el método Newton, a partir de $x_0=0.5$

$$ \begin{array}{l|r|r} n & x_n & error\\ \hline 0 & 0.5 & 0.039035 \\ 1 & 0.460965 & 0.000666909 \\ 2 & 0.4616319 & 2\times 10^{-7} \\ 3 & 0.4616321449683 & 1.9\times 10^{-14} \\ \end{array} $$