Dejemos que $(V,\omega)$ sea un espacio vectorial presimpléctico de dimensión finita y $W, U$ sean subespacios simplécticos. Es entonces $span(W,U)=\{z\in V|\exists u\in U, w \in W: z=w+u \}$ ¿también un subespacio simpléctico?
Respuesta
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Considere $V=\mathbb{R}^4$ con la forma simpléctica $\omega$ definida por la siguiente matriz con respecto a la base cartesiana $e_1$ , $e_2$ , $e_3$ , $e_4$ :
$$ \omega=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}. $$ Dejemos que $W:= span\{e_1, e_2\}$ y $U:= span\{e_2,e_3\}$ . Entonces ambos $W$ y $U$ son simpáticos pero $U+W=span\{e_1, e_2, e_3\}$ no es claramente simpléctica.
EDIT (reacción a un comentario): Considere $V'=\mathbb{R}^6$ con la forma simpléctica $\omega'$ definida por la siguiente matriz con respecto a la base cartesiana $e_1$ , $e_2$ , $e_3$ , $e_4$ , $e_5$ , $e_6$ : $$\omega' = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$$ Dejemos que $W':=span\{e_1,e_2\}$ y $U'=span\{e_3,e_4\}$ . Entonces ambos $W'$ y $U'$ son subespacios simplécticos de $V'$ , se mantiene $W'\cap U' = 0$ porque $e_1$ , $e_2$ , $e_3$ , $e_4$ son linealmente independientes, pero $W'+U'\subset V'$ no es un subespacio simpléctico.
