Función más una constante como parámetro de una función

Question

Pasamos unos 10 minutos discutiendo esto en la clase de Cálculo, pero terminamos desechando el problema. Aquí está:

Estábamos intentando demostrar la regla de la cadena a partir de los primeros principios, pero no estábamos seguros de cuál era la ecuación correcta:

$h'(x)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(g(x) + h) - f(g(x))}{h}$ o $h'(x)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(g(x + h)) - f(g(x))}{h}$

Básicamente, ¿el $+h$ ser incluidos o excluidos en $g(x)$ ?

Nota: la ecuación original es: $f'(x)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Answer 1

La posición en la que el $+h$ va está justo al lado del $x$ . Por lo tanto, debe ser "incluido" en $g(x)$ .

Poniendo $h$ junto a $g(x)$ calcularía la derivada de $f$ en el punto $f(g(x))$ .

Answer 2

Parece que su $h$ es la función $h(x) = f(g(x))$ . Si es así, tenga en cuenta que cualquier cosa que sustituya $x$ con en un lado debe ser el mismo en el otro lado, por ejemplo, $h(y) = f(g(y))$ , $h(x + j) = f(g(x + j))$ etc. Así, la forma correcta de expresar su derivada es

$$\begin{equation}\begin{aligned} h'(x) & = \lim_{j \to 0}\frac{h(x + j) - h(x)}{j} \\ & = \lim_{j \to 0}\frac{f(g(x+j)) - f(g(x))}{j} \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1A}$$

Tenga en cuenta también que está utilizando $x \to 0$ en sus límites en lugar de la correcta $h \to 0$ . Además, he utilizado $j$ en lugar de $h$ como valor límite para evitar confusiones con el $h(x)$ función.