La secuencia en cuestión es A296768 en la Enciclopedia Online. Comienza con 1, 3, 5, 9, 11, 17, 24, 32, 36, 46, ... Se obtiene empezando con los enteros positivos en orden, (b(i)= i para todos los enteros positivos i), y permutándolos una y otra vez. En la k-ésima pasada, cambiamos b(k+1) por b(b(k+1) + b(k)). La secuencia es el límite de estas secuencias a medida que k va al infinito. ¿Es cierto que el número 2 se lleva al infinito y no aparece en la secuencia final? Parece que sí, basándonos en los primeros 67 valores. En términos más generales, ¿es cierto que esta secuencia es creciente? Si es creciente, ¿cuál es su tasa de crecimiento?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
lterrier
Puntos
31
Considere el siguiente conjunto de condiciones. Antes de que uno intercambie $b(k+1)$ ,
- $b(i)$ es un incremento con $i$ secuencia para $i$ menos de $k+1$ . (Y para un tamaño lo suficientemente grande $k$ , $b(k)$ es mayor que $k$ .)
- Para $i$ más grande que $k$ , $b(i)$ es como máximo $i$ .
- $b(i)$ es menor que $i$ exactamente cuando $i$ es mayor que $k$ y $i$ forma parte de la secuencia creciente ( $i$ es uno de $b(1)$ o $b(2)$ o ... o $b(k)$ ).
Así, $b(k+1)$ es un valor como máximo $k+1$ que se intercambia con el valor $b(k)+b(k+1)=b(b(k)+b(k+1))$ . Vemos que las condiciones 1,2 y 3 se mantienen para $k+1$ en lugar de $k$ después del intercambio.
Como resultado, $b(k)$ se estabiliza en una secuencia creciente. Parece ser que el $k$ El número triangular $T(k)=b(k)+b(1)+b(2)+\cdots+b(j)$ con $b(j)$ valor más grande menor o igual a $k$ o algo parecido. Si esto es cierto, entonces $b(k)$ crece como $k(k+1)/2$ menos un término como $O(k^{3/2})$ .
Edición 2020.08.05
He aquí una definición alternativa de la secuencia. Definir $pr(k)$ para ser $b(i)$ cuando $k$ es igual a $b(i+1)$ Si no es así $pr(k)$ es 0. Entonces $$b(k+1)=b(k)+k+1-pr(k+1).$$
Por supuesto $i$ es positivo y $b(1)=1$ o definir $b(0)$ ser 0 para dar un paso atrás.
Fin de la edición 2020.08.05.
Gerhard "¿Tal vez como K Power Phi?" Paseman, 2020.08.03.
