¿La convergencia uniforme de funciones uniformemente continuas implica la acotación uniforme?

Question

Si una secuencia de funciones uniformemente continuas sobre un conjunto compacto converge uniformemente, ¿es cierto que la secuencia está acotada?

Answer 1

Sí, para $\|f_{n}-f\|_{\infty}\rightarrow 0$ , entonces para algunos $N$ , si $n\geq N$ , $\|f_{n}\|_{\infty}\leq\|f\|_{\infty}+1$ . Tenga en cuenta que $f$ también es continua por la convergencia uniforme. Como $f$ es continua en el conjunto compacto, por lo que $\|f\|_{\infty}=\max|f|<\infty$ . Así que $\|f_{n}\|\leq\max\{\|f_{1}\|_{\infty},...,\|f_{N-1}\|_{\infty},\|f_{N}\|_{\infty}+1\}$ para todos $n$ .

Answer 2

Sugerencia . Existe un $N$ tal que para todo $n>N$ tenemos $\sup_x|f_n(x) - f(x) |<\epsilon$ (concluya usted mismo por qué esto implica la acotación para $n>N$ ). Dado que $f_n$ es continua tenemos para todos $n\leq N$ existe un $M_n$ tal que $|f_n(x) |<M_n$ para todos $x$ en el dominio por el Teorema del Máximo de Weierstrass. Elija $M=\max_{n\leq N} \{M_n\}$ y tal máximo existe (¿por qué?). Ahora, junten estas cosas y concluyan.