Límites para $W^{2,\infty}$ funciones

Question

Para un $W^{2,\infty}$ función $h$ ¿Cómo se demuestra la siguiente desigualdad?

$$|h(x) +h(y) - 2h(z)| \le \|h\|_{W^{2,\infty}} \left(|x-z|^4 + |y-z|^4 + |x+y-2z|^2\right)^{\frac 12}$$

Answer 1

Dependiendo de la definición exacta de la norma de Sobolev $\|\cdot\|_{W^{2,\infty}}$ La declaración puede implicar una constante ligeramente diferente. En lo que sigue, supondremos que $$ \|h\|_{W^{2,\infty}} = \|h\|_\infty + \|h'\|_\infty + \|h''\|_\infty. $$

Utilizando repetidamente el teorema fundamental del cálculo tenemos $$ \begin{align} |h(x) + h(y) - 2 h(z)| &= |h(x) - h(z) + h(z) - h(y)|\\ &=\left| \int_z^x h'(\xi) \, \mathrm{d} \xi + \int_z^y h'(\xi) \, \mathrm{d} \xi \right|\\ &=\left| \int_z^x (h'(\xi) - h'(z)) \, \mathrm{d} \xi + \int_z^y (h'(\xi)-h'(z)) \, \mathrm{d} \xi + (x+y-2z)h'(z) \right|\\ &=\left| \int_z^x \int_z^\xi h''(t) \, \mathrm{d} \xi \mathrm{d}t + \int_z^y \int_z^\xi h''(t) \, \mathrm{d} \xi \mathrm{d}t + (x+y-2z)h'(z) \right|. \end{align} $$

Utilizando la desigualdad triangular y la definición de $\|\cdot\|_{W^{2,\infty}}$ deducimos $$ \begin{align} |h(x) + h(y) - 2 h(z)| &\leq \|h''\|_\infty \frac{|x-z|^2}{2} + \|h''\|_\infty \frac{|y-z|^2}{2} + \|h'\|_\infty |x+y-2z|\\ &\leq \|h\|_{W^{2,\infty}} \left( \frac{|x-z|^2}{2} + \frac{|y-z|^2}{2} + |x+y-2z| \right). \end{align} $$

Por último, recordando la desigualdad $a + b + c \leq \sqrt 2 (a^2+b^2+c^2)^{1/2}$ para $a,b,c >0$ deducimos $$ |h(x) + h(y) - 2 h(z)| \leq \|h\|_{W^{2,\infty}} \left( |x-z|^4 + |y-z|^4 + 2|x+y-2z|^2 \right)^{1/2} $$ que es la desigualdad deseada hasta una constante.

P.D: La constante deseada puede alcanzarse en este entorno considerando las siguientes mejoras en el argumento anterior:

1) un tratamiento más cuidadoso de la estimación $\max( \|h'\|_\infty, \|h''\|_\infty) \leq \|h\|_{W^{2,\infty}}$ señalando que este paso puede mejorarse escribiendo $$ |h(x) + h(y) - 2 h(z)| \leq \|h\|_{W^{2,\infty}} \left( \epsilon \frac{|x-z|^2}{2} + \epsilon \frac{|y-z|^2}{2} + (1-\epsilon) |x+y-2z| \right) $$ con $0 < \epsilon < 1$ ;

2) una desigualdad más fina como $a+b+c \leq (\alpha a^2 + \alpha b^2 + \beta c^2)^{1/2}$ en el último pasaje que es válido para $\alpha \geq 2$ y $\beta \geq \alpha / (\alpha -1)$ .