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Límites para W2, funciones

Para un W2, función h ¿Cómo se demuestra la siguiente desigualdad?

|h(x)+h(y)2h(z)|

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lulubutterz89 Puntos 6

Dependiendo de la definición exacta de la norma de Sobolev \|\cdot\|_{W^{2,\infty}} La declaración puede implicar una constante ligeramente diferente. En lo que sigue, supondremos que \|h\|_{W^{2,\infty}} = \|h\|_\infty + \|h'\|_\infty + \|h''\|_\infty.

Utilizando repetidamente el teorema fundamental del cálculo tenemos \begin{align} |h(x) + h(y) - 2 h(z)| &= |h(x) - h(z) + h(z) - h(y)|\\ &=\left| \int_z^x h'(\xi) \, \mathrm{d} \xi + \int_z^y h'(\xi) \, \mathrm{d} \xi \right|\\ &=\left| \int_z^x (h'(\xi) - h'(z)) \, \mathrm{d} \xi + \int_z^y (h'(\xi)-h'(z)) \, \mathrm{d} \xi + (x+y-2z)h'(z) \right|\\ &=\left| \int_z^x \int_z^\xi h''(t) \, \mathrm{d} \xi \mathrm{d}t + \int_z^y \int_z^\xi h''(t) \, \mathrm{d} \xi \mathrm{d}t + (x+y-2z)h'(z) \right|. \end{align}

Utilizando la desigualdad triangular y la definición de \|\cdot\|_{W^{2,\infty}} deducimos \begin{align} |h(x) + h(y) - 2 h(z)| &\leq \|h''\|_\infty \frac{|x-z|^2}{2} + \|h''\|_\infty \frac{|y-z|^2}{2} + \|h'\|_\infty |x+y-2z|\\ &\leq \|h\|_{W^{2,\infty}} \left( \frac{|x-z|^2}{2} + \frac{|y-z|^2}{2} + |x+y-2z| \right). \end{align}

Por último, recordando la desigualdad a + b + c \leq \sqrt 2 (a^2+b^2+c^2)^{1/2} para a,b,c >0 deducimos |h(x) + h(y) - 2 h(z)| \leq \|h\|_{W^{2,\infty}} \left( |x-z|^4 + |y-z|^4 + 2|x+y-2z|^2 \right)^{1/2} que es la desigualdad deseada hasta una constante.

P.D: La constante deseada puede alcanzarse en este entorno considerando las siguientes mejoras en el argumento anterior:

1) un tratamiento más cuidadoso de la estimación \max( \|h'\|_\infty, \|h''\|_\infty) \leq \|h\|_{W^{2,\infty}} señalando que este paso puede mejorarse escribiendo |h(x) + h(y) - 2 h(z)| \leq \|h\|_{W^{2,\infty}} \left( \epsilon \frac{|x-z|^2}{2} + \epsilon \frac{|y-z|^2}{2} + (1-\epsilon) |x+y-2z| \right) con 0 < \epsilon < 1 ;

2) una desigualdad más fina como a+b+c \leq (\alpha a^2 + \alpha b^2 + \beta c^2)^{1/2} en el último pasaje que es válido para \alpha \geq 2 y \beta \geq \alpha / (\alpha -1) .

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