Sobre las nociones de Universo de Grothendieck y Universo de Tarski

Question

Supongo que ZFC.

Dejemos que $U$ un conjunto con los siguientes (1), (2), (3):

1) $\omega\in U$

2) $x\in U\ \Rightarrow x\subset U$

3) $x\in U\ \Rightarrow \mathcal{P}(x)\in U$ (donde $\mathcal{P}(x):=$ { $y| y\subset x$ })

Entonces, por estas premisas, quiero demostrar que $(4)\Leftrightarrow (4')$ donde:

4) si $x\subset U$ y $|x|<|U|$ entonces $x\in U$ (donde $|a|$ es la cardinalidad del conjunto $a$ )

4') Si $f: a\to U$ es una función y $a\in U$ entonces $\bigcup_{s\in a}f(s)\in U$ .

El libro de Monk "Introducción a la teoría de conjuntos' reclama esta equivalencia como ejercicio.

y la implicación $(4)\Rightarrow (4')$ es inmediata del libro anterior..

Intenté demostrar por inducción que $|U|\subset U$ o trató de generalizar el teorema de Mostowsky para obtener una inijación $|U|\to U$ que preserva la relación ' $\in $ (sin éxito). He visto también algunos mensajes aquí sobre este problema, pero espero que existe una (relativamente) simple answere.

Entonces pregunto: ¿Cómo probar $(4')\Rightarrow (4)$ ?

Answer 1

No veo una prueba realmente hábil, así que aquí hay una aproximada (y bastante estándar). Supongamos que $U$ satisface (1,2,3,4'). Obsérvese que, por (2) y (3), $U$ es cerrado bajo subconjuntos, por lo que las cardinalidades de los elementos de $U$ forman un segmento inicial de los números cardinales; que $\kappa$ sea el cardinal más pequeño que no esté en este segmento inicial. De (1) se deduce que $\kappa$ es incontable, de (3) que siempre que $\mu<\kappa$ entonces $2^\mu<\kappa$ y de (4') que $\kappa$ es un cardenal regular. Así que $\kappa$ es fuertemente inaccesible. Si $U$ contenía cualquier conjunto de rango $\geq\kappa$ entonces los conjuntos de menor rango tendrían, según (2), exactamente el rango $\kappa$ pero esto es imposible, porque (por la regularidad de $\kappa$ ) cualquier conjunto de rango exactamente $\kappa$ debe tener una cardinalidad de al menos $\kappa$ . La conclusión, por tanto, es que todos los conjuntos en $U$ tienen rango $<\kappa$ . Con la notación habitual para los niveles de la jerarquía acumulativa, tenemos $U\subseteq V_\kappa$ .

A continuación, observe que para todos los $\alpha<\kappa$ , $V_\alpha$ tiene cardinalidad $<\kappa$ . (Esto se demuestra por inducción en $\alpha$ , utilizando en las etapas sucesivas que $\mu<\kappa$ implica $2^\mu<\kappa$ y utilizando en las etapas límite que $\kappa$ es regular e incontable). Por lo tanto, $V_\kappa$ siendo la unión de $\kappa$ establece $V_\alpha$ cada uno más pequeño que $\kappa$ , sólo tiene cardinalidad $\kappa$ . Teniendo en cuenta el resultado del párrafo anterior, tenemos $|U|\leq \kappa$ .

Esto significa que, si $x$ es como en la afirmación (4) que queremos demostrar, entonces $|x|<\kappa$ y, por lo tanto, existe alguna $a\in U$ con $|a|=|x|$ . Fijar tal $a$ y fijar una biyección $f:a\to x$ . Aplicando (4'), encontramos que la unión $y$ de todos los miembros de $x$ es un elemento de $U$ . Pero cada miembro de $x$ es un subconjunto de $y$ y, por tanto, un elemento del conjunto de potencias de $y$ . Así que tenemos $x\subseteq\mathcal P(y)$ y, por (3), $\mathcal P(y)\in U$ . Ya hemos señalado anteriormente que $U$ es cerrado bajo subconjuntos, por lo que se deduce que $x\in U$ , según se desee.