Hay una característica universal de la ultraproduct?

Question

Dado un ultrafilter U en un conjunto I y una colección de ser X_i ($I \in I$) se define la ultraproduct como el cociente de $\prod X_i $ por la identificación de $x_i=y_i :\leftrightarrow \{i:x_i=y_i\} \in U$. Hay un possibilityto dar esta definición categóricamente, haciendo referencia a una característica universal de una categoría?

Answer 1

Deje $\mathcal{U}$ ser el ultrafilter $U$ considera como un conjunto parcialmente ordenado en su propio derecho, y considera el diagrama de la forma $\mathcal{U}^\mathrm{op}$ cuando el valor en un elemento $S$ es el producto de $\prod_{i \in S} X_i$ y los mapas de transición son evidentes proyecciones. El colimit de este diagrama (que es un sistema dirigido!) es, entonces, el ultraproduct $\left( \prod_{i \in I} X_i \right) / U$.