Tomando la derivada exterior de una forma 0

Question

Estoy tratando de mostrar que $dg(\vec{x})=\alpha$ , donde $\alpha=\Sigma^n_{i=1}f_idx_i$ y $g(\vec x)={1\over{p+1}}\Sigma_{i=1}^nx_if_i(\vec x)$ ...y $d$ es la derivada exterior. El $f_i$ son todos suaves y homogéneos de la misma ( $p\neq-1)$ ) grado, es decir $f_i(t\vec x)=t^pf_i(\vec x)$ .

Este último hecho nos da que $\large\Sigma_{j=1}^nx_j{\partial f_i\over \partial x_j}(\vec x)=pf_i(\vec x)$ .

No sé si es por todas las sumas que hay o qué, pero no consigo que esto funcione. Resulta que siempre tengo las j y las i mezcladas de forma incorrecta... Esto puede indicar que la pregunta no es cierta como se plantea... o más bien que estoy fallando en una contabilidad bastante básica.

Al final sigo terminando con $\large dg={1\over{p+1}}\Sigma^n_{j=1}\Sigma^n_{i=1}x_i{\partial f_i\over \partial x_j}dx_j+f_i$ que no me permite usar ninguna de las bonitas identidades que he ganado.

Answer 1

Dejemos que $$\alpha = \sum_{i = 1}^{n} f_{i}\ \textrm{d}x_{i}$$ sea una forma única cerrada con funciones $f_{i}$ suave y homogénea de grado $p$ .

Desde $\alpha$ está cerrado, $\textrm{d}\alpha = 0$ y así $$\sum_{j = 1}^{n}\sum_{i = 1}^{n}\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}} \textrm{d}x_{j}\wedge \textrm{d}x_{i} = 0, $$ $$\Rightarrow \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}} = \frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}}.$$

Dejemos que $g$ se define por $$g = \frac{1}{p+1} \sum_{i = 1}^{n}x_{i}f_{i}.$$

Entonces $$\textrm{d}g = \frac{1}{p+1}\left(\sum_{j=1}^{n}f_{j}\ \textrm{d}x_{j} + \left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}} \right)\textrm{d}x_{j}\right).$$ Utiliza la relación que derivamos de la condición de que $\alpha$ se cierra para intercambiar los índices dentro de la suma más interna: $$\textrm{d}g = \frac{1}{p+1}\left(\sum_{j=1}^{n}f_{j}\ \textrm{d}x_{j} + \left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}} \right)\textrm{d}x_{j}\right).$$ Ahora utiliza la identidad que has obtenido en tu pregunta (después de "El último hecho...") $$\textrm{d}g = \frac{1}{p+1}\left(\sum_{j=1}^{n}f_{j}\ \textrm{d}x_{j} + p f_{j}\ \textrm{d}x_{j}\right),$$ $$\textrm{d}g = \sum_{j = 1}^{n} f_{j}\ \textrm{d}x_{j}$$ según sea necesario.