¿Para qué valores reales de $c$ hace $x-\ln {(1+e^x)}=c$ mantener para algunos $x$ ?

Question

¿Para qué valores reales de $c$ hace $x-\ln {(1+e^x)}=c$ mantener para algunos $x$ ?

Reescribiendo la ecuación como $\ln {e^x}-\ln {(1+e^x)}=c$ Me sale $e^c=\frac{e^x}{1+e^x}$ . No estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí.

Answer 1

Sugerencia : $$e^c = \frac{e^x}{1+e^x} \iff e^x = \frac{e^c}{1 - e^c}.$$

Como $e^x > 0$ para $x\in\mathbb{R}$ conseguimos que $$\frac{e^c}{1 - e^c} > 0 \iff 1 - e^c > 0 \iff e^c < 1 \iff c<0.$$