Resolver la ecuación: $e^x=mx^2$

Question

Necesito encontrar el máximo número posible de raíces reales de la ecuación:

$$e^x=mx^2$$

donde m es un parámetro real.

Estoy interesado en algunas de enfoques. Por otra parte, es posible resolver sin el uso de derivados en todo? Gracias.

Answer 1

No es completamente primaria, pero podrías intentar cambiar las variables: $\mathrm{e}^x=t$, por lo que la ecuación se convierte en $$\frac{1}{m}t = \left( \log t \right)^2 .$$ El comportamiento de la derecha debe ser adivinadas fácilmente (monotonía, convexidad, y así sucesivamente). La ventaja es que usted probablemente puede explotar convexidad. Pero creo que algunos de diferenciación es de todos modos necesario.

Answer 2

Después de la enésima edición he decidido volver a escribir la solución en una forma concisa.

Considere la función $f:\mathbb{R} \setminus \{0\}\to \mathbb R$$f(x)=\frac{e^x}{x^2}$. A continuación, el número de soluciones de la ecuación de $e^x=mx^2$ para un determinado $m$ es precisamente el número de elementos en $f^{-1}(m)$. Desde $f$ es estrictamente positivo no hay ninguna solución para $m\leq 0$. Dado que la restricción $f:\mathbb R^-\to \mathbb R^+$ es bijective, siempre hay una solución negativa. Y dado que la restricción $f:\mathbb R^+\to \mathbb R^+$ es convexo con $f(x)\to \infty$ $x\to 0^+$ $x\to \infty$ hay $0$, $1$ o $2$ soluciones positivas.

Es fácil ver que $f$ restringido a $\mathbb R^+$ es convexa utilizando el cálculo como la segunda derivada es $\frac{e^x(x^2-4x+6)}{x^4}>0$ pero también debe ser posible demostrar que esta a pie.

Answer 3

Si $m>0$, siempre habrá una solución para $x<0$. Si m es lo suficientemente grande tal que $m*x^2$ supera $e^x$ algunos $x>0$ $e^x$ cumplir $m*x^2$ $e^x$ crece más rápido que cualquier polinomio dando total de $3$ soluciones. Si $m$ es tal que cuando se $e^x$ cumple con $m*x^2$ algunos $x>0$ y sus pendientes son iguales en ese punto, entonces no sería $2$ soluciones.Si $m>0$ es pequeña, curvas se cruzan sólo para algunos $x<0$ dando sólo la $1$ solución mientras que para $m<0$, que nunca se cruzarían sin dar soluciones reales.

Answer 4

Siempre $m > 0$ siempre hay una solución negativa. Nos dirigimos ahora nuestra atención a las soluciones en $(0,\infty)$.

Poner $$g(x) = {e^x\over x^2}$$ para $x > 0$. La diferenciación, se obtiene $$g'(x) = {(x-2)e^x\over x^3}.$$ Si se dibuja el signo gráfico de g', verá que es negativo si $x < 2$ y positivo si $x > 2$. Por lo tanto, no es un mínimo global en $x = 2$. Llegamos a la conclusión de que $${e^x\over x} \ge {e^2\over 4}$$ para $x > 0$.

Por lo tanto, si $m < e^2/4$, sin solución en el $(0,\infty)$ existe. Si $m > e^2/4$, dos soluciones existen, uno a la izquierda de 2 y otro a la derecha. Si $m = e^2/4$, hay una solución.