Cómo encontrar los límites de una secuencia

Question

Si $a(n)=\frac{-1}{n!}$ ¿Cómo se pueden encontrar los límites numéricos de esta secuencia, de forma rigurosa?

Answer 1

¡La secuencia es monótona creciente: para todo n, (n+1)! > n! por lo que 1/(n+1)! < 1/n!, y por tanto -1/(n+1)! > -1/n!.

Siendo así, a(0) debe ser el valor mínimo = -1.

A medida que n tiende a $\infty$ -1/n! tiende a 0 desde abajo.

Por tanto, -1 <= a(n) < 0.

Answer 2

¿Es esto suficiente? Obviamente $$\frac{-1}{n!} < c,\text{ where } c > 0, c \in \mathbb{R}.$$ El cero viene de $$ \lim_{n \to \infty} \frac{-1}{n!} = 0. $$ Para el límite inferior en primer lugar $a(1) = \frac{-1}{1} = -1 $ . Ahora considere $$ a(n) = \frac{-1}{n!} < \frac{-1}{(n+1)!} = a(n+1). $$

Así que los límites son $$ b < a(n) < c,$$ donde $b < -1, b \in \mathbb{R}$ y $c > 0, c \in \mathbb{R}$ .