soporte en un triángulo y distribuciones marginales uniformes

Question

Supongamos que $X$ y $Y$ se distribuyen conjuntamente en el soporte $\operatorname{conv} \{(0,0),(0,1),(1,0)\}$ con el PDF conjunto $f>0$ por todas partes en el soporte. ¿Es posible encontrar $f$ de manera que las PDF marginales vienen dadas por

$f_X(x)= 1$ para todos $x\in[0,1]$ y

$f_Y(y)=1$ para todos $y\in [0,1]$ ?

Gracias

Answer 1

No se puede tener una densidad positiva en todas partes en el soporte del triángulo con las distribuciones marginales dadas. Para ver esto, supongamos que tal distribución existe, y entonces consideremos el pequeño triángulo a la derecha de $x=1/2$ . La distribución marginal de x implica que la probabilidad de que x sea mayor que 1/2 es 1/2. Del mismo modo, la probabilidad de que y sea mayor que 1/2 es 1/2. Estos 2 pequeños triángulos son disjuntos, por lo que la probabilidad de estar en uno u otro es 1. Pero eso significa que para el cuadrado en el que x e y están limitados por 0 y 1/2, la distribución será cero en casi todas partes. Así que esa distribución no existe.