algunas cuestiones sobre la superficie de Riemann

Question

Hay varias preguntas desconcertantes sobre la superficie de Riemann para mí: Q.1 La definición de superficie de Riemann puede darse al menos de dos maneras: Def.1) es una variedad unidimensional compleja (Def.2) para cada $a\in \mathbb{C}$ , considere la recogida de gérmenes en $a$ de funciones analíticas, y dar una topología sobre ella . ¿Son estas definiciones realmente equivalentes? o la Def.2 es más general que la Def.1?

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Q.2 Cuando decimos que un grupo $G$ es un grupo de automorfismo de una superficie compacta de Riemann, ¿cómo es la acción? (por ejemplo, ¿cuál es la descripción de la acción de PSL(2,7) sobre una superficie de Riemann de género 3? En el libro de Thomas Breuer, no pude ver ninguna descripción de la acción de un grupo sobre una superficie de Riemann; él ha dado métodos computacionales para investigar los grupos).

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Q.3 Los automorfismos de una superficie compacta de Riemann siempre pueden ser elevados a cobertura universal?

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Q.4 Si un grupo $G$ actúa sobre una superficie compacta de Riemann $X_g$ de género $g$ entonces $X_g/G$ es también una superficie de Riemann compacta de algún género $h$ y $g,h$ están relacionados por la fórmula de Riemann-Hurwitz. ¿Puede alguien sugerir alguna buena referencia para esta relación? (aquí, me gustaría ver esta relación Riemann Hurwitz topológicamente; muchos libros la describen usando técnicas de geometría algebraica).

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(He revisado muchos libros sobre la superficie de Riemann para estas preguntas; pero no he entendido muchas cosas)

Answer 1

Q1. Hay dos nociones DIFERENTES de superficie de Riemann en la literatura.

a) Colector analítico complejo unidimensional (procedente del libro de Weyl).

b) Superficie de Riemann "extendida sobre el plano (o sobre la esfera de Riemann)". Su segunda definición, el conjunto de gérmenes con una topología adecuada sobre él, formaliza esta segunda noción.

Los libros más antiguos parecen entender las superficies de Riemann en el sentido de la segunda definición. A veces a) se denominaba "superficie de Riemann abstracta" en estos libros.

Para la mayoría de los matemáticos con formación moderna la "superficie de Riemann de log z" y la "superficie de Riemann de arccos z" son expresiones sin sentido porque éstas son lo mismo que el plano, en el sentido de la definición a).

La relación formal entre a) y b) es la siguiente. "Una superficie de Riemann extendida sobre el plano es un par (S,f), donde S es una superficie abstracta de superficie de Riemann abstracta y f es una función holomorfa de S a C. (Si f es meromorfa, tenemos una superficie de Riemann extendida sobre la esfera).

Esta es otra forma de decirlo. Sea S una superficie de Riemann en el sentido a). Tiene un conjunto de gráficos $\phi_j: U_j\to D_j$ a partir de los elementos de una cobertura abierta U a discos D en el plano. Los mapas de correspondencia $\phi_k\circ\phi_j^{-1}$ en $D_j\cap D_k$ deben ser conformes.

Ahora exijamos que estos mapas de correspondencia sean mapas de IDENTIDAD de $D_j\cap D_k$ . Entonces obtenemos la noción b). Se trata de una estructura adicional sobre una superficie de Riemann en el sentido a) que a veces se llama estructura plana.

Si te fijas bien (por ejemplo, en el ejemplo de arccos) verás que las dos definiciones de una superficie de Riemann en el sentido b) que he dado no son exactamente equivalentes. Más sobre esto en mi estudio "Geometric theory of meromorphic functions", y en el preprint de Biswas y Pérez Marco, Log Riemann Surfaces.

Answer 2

P1: Utiliza la definición de colector, que se remonta a Weyl. La otra definición proviene de la teoría de la continuación analítica. (Y es algo desconcertante históricamente -no estoy muy seguro de cómo encaja el teorema de Poincaré-Volterra, pero hoy en día probablemente querrás leer este material en términos de la teoría de gavillas, a la que fue una de las aportaciones).

Q2: G actúa sobre el campo de las funciones meromorfas, es una forma de verlo. Se trata de mapeos holomórficos de la superficie a sí misma, descritos por algunos mapeos algebraicos de hecho.

P3: Creo que sí, por "tonterías abstractas".

P4: El cociente debe tratarse con cuidado, ya que los cocientes de las variedades no siempre son variedades. Pero en términos del campo de funciones esto puede verse como teoría de Galois, y X es un recubrimiento ramificado (normalmente) de la curva cotizada. La explicación topológica de la característica de Euler en la fórmula de Riemann-Hurwitz es intuitivamente clara: basta con ver lo que ocurre bajo la k -en el disco complejo unitario, en términos de una triangulación simple, para ver cómo la ramificación afecta a las coberturas.