Veo el Todd Trimble artículo "Teoría elemental de la categoría de conjuntos" en catlab.
Pregunto: ¿cómo hacer (en el entorno categórico) la unión habitual de un conjunto $\cup X=$ { $y |\exists x\in X: y\in x$ }?
Este objeto es (fuertemente) no natural (no susceptible de un functor y una transformación natural).
Lo pregunto porque el "axioma de unión" es uno de los de la teoría de conjuntos ZF.
Hay varios artículos que escribí sobre ETCS, que habían aparecido originalmente en el blog (actualmente inactivo) Topological Musings. Los artículos del nLab no son más que transcripciones de lo que había escrito en MathML, que es lo que utilizamos en el nLab. Se quedan un poco cortos respecto a lo que pides específicamente, así que tal vez pueda llenar el vacío ahora, y decir cómo creo que podría haber procedido.
Como ya mencionaron David y Sridhar, ETCS difiere de las teorías de conjuntos tradicionales que se basan en una relación de pertenencia global (teorías cuya firma subyacente consiste en una única relación binaria $\in$ ). En su lugar, ETCS detalla los axiomas que uno espera que se mantengan para una categoría de conjuntos y funciones. Para los que hablan el lenguaje, los axiomas equivalen a decir que un modelo de ETCS es un topos con un objeto de números naturales, tal que el conjunto terminal es un generador y el axioma de elección ("epis split") se cumple.
En este marco, se trata la "unión" como una operación que internaliza la operación externa de tomar uniones en los retículos de subconjuntos. Así, si $X$ es un conjunto (o un objeto si se quiere), la operación de unión relativa a $X$ es un morfismo apropiado
$$\bigcup: PPX \to PX$$
donde $PX$ denota el conjunto/objeto de potencia de $X$ . Por la propiedad universal de los objetos de potencia, este morfismo corresponde a un subobjeto de $X \times PPX$ . Este subobjeto está especificado por la fórmula (de un lenguaje interno para topos)
$$\exists_{A: PX} (x \in_X A) \wedge (A \in_{PX} C)$$
donde $x$ es del tipo $X$ y $C$ es del tipo $PPX$ .
Hay varias maneras de hacerlo, incluso si uno no está familiarizado con el lenguaje interno de un topos. Una forma, que funciona para los topos generales, consiste en interpretar el cuantificador $\exists_{A: PX}$ directamente en términos de factorizaciones de imágenes. En concreto, consideremos la factorización de la imagen del compuesto
$$[(x \in_X A) \wedge (A \in_{PX} C)] \hookrightarrow X \times PX \times PPX \stackrel{proj}{\to} X \times PPX$$
para obtener el subobjeto deseado $I \hookrightarrow X \times PPX$ . (Por supuesto, esto requiere que uno construya factorizaciones de imágenes en un topos, como se trata en cualquier texto estándar). El subobjeto descrito entre paréntesis es, a su vez, un pullback de la forma
$$(1_X \times \delta \times 1_{PPX})^\ast(\in_X \times \in_{PX})$$
donde $\in_X \hookrightarrow X \times PX$ y $\in_{PX} \hookrightarrow PX \times PPX$ son los subobjetos canónicos, y donde $\delta: PX \to PX \times PX$ es la diagonal. Entonces, como se dijo antes, el mapa $PPX \to PX$ que clasifica esta imagen $I \hookrightarrow X \times PPX$ es la unión interna deseada en relación con $X$ .
El segundo camino es darse cuenta de que un modelo de ETCS es en particular un topos booleano. Entonces, si uno ya ha construido la cuantificación universal (véase, por ejemplo, el segundo de los tres artículos de la serie ETCS), se puede interpretar fácilmente la fórmula
$$\neg \forall_{A: PX} (x \in_X A) \Rightarrow \neg(A \in_{PX} C)$$
una vez que se ha definido la negación interna, lo que no es difícil. Esto evita la necesidad de construir primero imágenes, pero sólo funciona en el caso booleano.
Independientemente de cómo se expliquen los detalles, lo más importante es que en ETCS las relaciones de pertenencia son locales y relativas a los objetos $X$ en forma de subobjetos universales $\in_X \hookrightarrow X \times PX$ en lugar de estar dada por una única relación global $\in$ que se obtiene en la clase de objetos. En consecuencia, las operaciones teóricas de conjuntos como la unión y la intersección también son locales y relativas en este sentido. Por lo demás, las fórmulas de primer orden que especifican tales operaciones -las que todos conocemos y amamos- funcionan prácticamente igual; en ETCS, las operaciones pertinentes pueden construirse mediante la explotación inteligente de las propiedades universales de las relaciones $\in_X$ y no sólo se afirma que existe por medio de un esquema de comprensión o separación de axiomas.
Los elementos de conjuntos en la teoría ETCS no son otros conjuntos, son funciones $\ast \to X$ . En particular, los elementos no tienen en sí mismos elementos, por lo que no se puede hablar de la unión tal y como la has descrito. En esencia, esta es una de las principales diferencias entre ETCS (un estructural teoría de conjuntos) y ZF(C) (a material teoría de conjuntos).
La traducción de ETCS no es simplista. Hay que tomar ciertos árboles bien fundados donde los nodos son conjuntos ETCS para recuperar conjuntos ZF(C). En realidad, como ETCS es realmente de la fuerza de la teoría de conjuntos de Zermelo acotados con Choice se obtiene esto en su lugar (ver http://ncatlab.org/nlab/show/pure+set ). Dicho árbol es en realidad un diagrama $\mathcal{T} \to Set$ donde $Set$ viene dado por el ETCS, y representa un árbol de miembros.
Entonces, dado un árbol rooteado (con raíz $T_0$ ) que representa un conjunto material, la unión es (a grandes rasgos) el árbol con raíz la unión disjunta de conjuntos en el siguiente nivel hacia arriba desde la raíz original y la unión de todas las ramas por encima de eso.
Ya hay varias respuestas agradables, pero la respuesta de François me hace pensar que el siguiente punto también podría ser relevante.
Es un hecho conocido que los axiomas del ETCS no implican la existencia de un coproducto $$ \mathbb{N} + P(\mathbb{N}) + P(P(\mathbb{N})) + \cdots $$ donde $P$ significa conjunto de energía. (Al menos, no lo hacen a menos que sean incoherentes.) Así que si ese es el tipo de "unión" que tenías en mente, no siempre la proporciona el ETCS.
Sin embargo, se puede añadir el siguiente esquema de axiomas a ETCS (y de hecho, ETCS más este esquema de axiomas es equivalente a ZFC). Lo diré un poco informalmente; una declaración precisa está en la sección 8 de
Colin McLarty, Explorando el estructuralismo categórico , Philosophia Mathematica 12 (2004), 37-53.
Así que: supongamos que tienes un conjunto $I$ y una familia $(X_i)_{i \in I}$ de conjuntos especificados por una fórmula de primer orden. El axioma establece que el coproducto $\sum_{i \in I} X_i$ existe. ¿Cómo lo afirma? Diciendo que hay un conjunto $X$ (para ser considerado como $\sum_{i \in I} X_i$ ) y un mapa $p: X \to I$ (que debe considerarse como la proyección evidente) tal que para cada $i \in I$ la fibra $p^{-1}(i)$ es isomorfo a $X_i$ .
Una moraleja de la variación entre nuestras respuestas: La "unión" y la "unión disjunta" son conceptos más diferentes de lo que podría parecer a primera vista.
Después de leer su otra pregunta Creo que entiendo lo que estás buscando.
En ZF, uno de los propósitos clave del Axioma de Unión es demostrar que el universo de conjuntos (visto como un topos) es cerrado bajo coproductos internos, es decir, que siempre se puede formar la unión disjunta de una familia de conjuntos indexada.
Cualquier topos elemental $\mathcal{E}$ es cerrado bajo coproductos internos y productos internos: para cualquier morfismo $f:A \to B$ el functor $f^*:\mathcal{E}/B \to \mathcal{E}/A$ tiene un adjunto izquierdo $\sum_f:\mathcal{E}/A\to\mathcal{E}/B$ (coproducto interno) y un adjunto derecho $\prod_f:\mathcal{E}/A\to\mathcal{E}/B$ (producto interno). Nótese que los coproductos internos son conceptualmente más fuertes que las uniones internas, aunque la prueba de existencia de cualquiera de ellos en las topos elementales es esencialmente la misma.
También se puede formular en términos de categorías indexadas, donde los topos $\mathcal{E}$ se utiliza para indexarse. Esto se acerca más a la noción habitual de coproducto (indexado por conjuntos), pero trabajar con categorías de trozos es equivalente y técnicamente más sencillo.
Hay un sentido en el que existe un axioma (trivial, tautológico) de unión (disjunta) en la teoría elemental de la categoría de conjuntos. En cualquier categoría con pullbacks, se puede pensar que un corte sobre un objeto X (es decir, un mapa hacia X) representa un conjunto indexado en X (la idea es que el conjunto asociado a cualquier punto particular de X es la fibra de ese punto bajo ese mapa; el pullback actúa entonces como una reindexación). Cabe preguntarse entonces qué es la unión disjunta de un conjunto indexado. Pues bien, ¡simplemente será el dominio de la porción representativa! (Ya que el dominio de un mapa equivale a la unión de todas sus fibras).
(Por supuesto, esto no toca la idea tradicional de la teoría de conjuntos como "conjuntos de conjuntos de conjuntos...". Para modelar dicha teoría dentro de una teoría de colecciones no estructuradas, hay que utilizar árboles de pertenencia, como señala David).
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