Estaba leyendo un libro sobre historia de los números y me encontré con el corte de Dedekind. Entiendo que 2 cortes diferentes representan 2 números únicos. Pero una cosa que no me queda clara es si es posible que el mismo corte de Dedekind represente 2 números irracionales diferentes, es decir, 2 números irracionales adyacentes intercalados entre el mismo corte. ¿Puede alguien dar una prueba de esto?
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Michael Hardy
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Si dos números irracionales $a$ , $b$ son "adyacentes", entonces donde está el número $\dfrac{a+b}{2}$ ?
El hecho de que entre dos números irracionales cualesquiera haya un número racional es esencialmente lo mismo que decir que la recta real no tiene infinitesimales no nulos. Un número $\varepsilon>0$ sería "infinitesimal" si $$ \underbrace{\varepsilon+\cdots\cdots+\varepsilon}_{n \text{ terms}} < 1 $$ no importa lo grande que sea el número finito $n$ de los términos es. Pero si $n$ puede hacerse lo suficientemente grande como para que la suma supere $n$ entonces el número racional $1/n$ es menor que $\varepsilon$ . Si dos números irracionales no tienen ningún número racional entre ellos, entonces la diferencia entre ellos sería un infinitesimal no nulo.
En cierto sentido, todo esto es una cuestión de cuál es la definición convencional de "número real". Pero se puede demostrar que esa definición convencional es la única que tiene ciertas propiedades agradables, por ejemplo, un campo ordenado en el que existen sups e infs.
Lockie
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En primer lugar, algunas definiciones que utilizaré (puede que no se correspondan exactamente con lo que has encontrado, así que hazme saber si las tuyas son diferentes, y veré lo que puedo hacer para adaptarme).
Decimos que un par ordenado $\langle A,B\rangle$ con $A,B$ conjuntos de racionales es un Corte Dedekind si se cumple lo siguiente:
(i) $A,B$ son conjuntos no vacíos y disjuntos con $A\cup B=\Bbb Q$ ,
(ii) $A$ no tiene ningún elemento mayor ( $B$ puede o no tener un elemento mínimo), y
(iii) cada elemento de $A$ es menor que cada elemento de $B$ .
Definimos $\Bbb R$ para ser el conjunto de los lados izquierdos de los cortes Dedekind, es decir, el conjunto de todos los $A\subseteq\Bbb Q$ tal que $\langle A,\Bbb Q\smallsetminus A\rangle$ es un corte Dedekind. Diremos que algún $A\in \Bbb R$ corresponde a $a\in \Bbb Q$ si y sólo si $A=\{x\in\Bbb Q:x<a\}$ --es decir, si y sólo si $\Bbb Q\smallsetminus A$ tiene un elemento mínimo, que será necesariamente $a$ .
Es un buen ejercicio para demostrar que $\subset$ es una relación de orden total en $\Bbb R$ y que el mapa $\Bbb Q\to\Bbb R$ dado por $a\mapsto\{x\in\Bbb Q:q<a\}$ es una inyección que preserva el orden, es decir, $a<b$ si y sólo si $\{q\in\Bbb Q:x<a\}\subset\{x\in\Bbb Q:x<b\}$ .
Dado $X\in\Bbb R$ , defina $-X:=\{-q:q\in\Bbb Q\smallsetminus X, q\,\text{ not the least element of }\,\Bbb Q\smallsetminus X\}$ . Se puede ver que $-X\in\Bbb R$ para cualquier $X\in\Bbb R$ que $-(-X)=X$ . Además, teniendo en cuenta $X,Y\in\Bbb R$ tenemos $X\subset Y$ si y sólo si $-Y\subset-X$ . Además, $X$ corresponde a un racional si y sólo si $-X$ lo hace.
Propuesta : Dado cualquier $X,Y\in\Bbb R$ con $X\subset Y$ Hay un poco de $A\in\Bbb R$ correspondiente a un racional tal que $X\subset A\subset Y$ .
Prueba : Si $X,Y$ corresponden a los racionales $x,y$ entonces, por definición, tenemos $x<y$ desde $X\subset Y$ . Dejar $a:=\frac{x+y}{2}$ se puede demostrar que $a\in\Bbb Q$ , $x<a<y$ y dejar que $A:=\{q\in\Bbb Q:q<a\}$ , $A$ corresponde a un racional, y claramente tenemos $X\subseteq A\subseteq Y$ . Desde $x\in A\smallsetminus X$ y $a\in Y\smallsetminus A$ entonces $X\subset A\subset Y$ .
Ahora, supongamos que $X,Y$ no corresponden ambos a los racionales. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer $X$ no corresponde a un racional, pues si $Y$ no lo hace, entonces tampoco $-Y$ y una prueba idéntica mostrará que hay alguna $A\in\Bbb R$ correspondiente a un racional con $-Y\subset A\subset-X$ (así $-A$ corresponde a un racional y $X\subset-A\subset Y$ según se desee). Dado que $X$ no corresponde a un racional, entonces $\Bbb Q\smallsetminus X$ no tiene ningún elemento mínimo. Tome cualquier $a\in Y\smallsetminus X=(\Bbb Q\smallsetminus X)\cap Y$ así que por definición de corte Dedekind, $a$ es mayor que cada elemento de $X$ y menos que cada elemento de $\Bbb Q\smallsetminus Y$ . Desde $a\in\Bbb Q\smallsetminus X$ y $\Bbb Q\smallsetminus X$ no tiene ningún elemento mínimo, entonces hay algún $p\in\Bbb Q\smallsetminus X$ tal que $p<a$ . Del mismo modo, hay algunos $r\in Y$ tal que $a<r$ . Poner $A:=\{q\in\Bbb Q:q<a\}$ para que $A\in\Bbb R$ corresponde al racional $a$ . Desde $a$ es mayor que cada elemento de $X$ entonces $X\subseteq A$ y como $a\in\Bbb Q\smallsetminus X$ entonces $X\subset A$ . Dado que cada elemento de $\Bbb Q\smallsetminus Y$ es mayor que $a$ y $A=\{q\in\Bbb Q:q<a\}$ entonces $\Bbb Q\smallsetminus A=\{q\in\Bbb Q:q\geq a\}\supset\{q\in\Bbb Q:q>a\}\supseteq\Bbb Q\smallsetminus Y$ y así $A=\Bbb Q\smallsetminus(\Bbb Q\smallsetminus A)\subset\Bbb Q\smallsetminus(\Bbb Q\smallsetminus Y)=Y$ . $\Box$
De la proposición anterior se deduce que los racionales están densamente embebidos en los reales. Así es como (podemos) definir los reales, y los que no corresponden a un racional son los que definimos como irracionales. Así, no hay reales distintos (en particular, irracionales distintos) sin un racional entre ellos, lo que significa que deben corresponder a cortes Dedekind distintos.
