¿Es cierta esta fórmula?

Question

Quiero demostrar una relación y necesito una desigualdad Sea $A$ una curva rectificable en el plano complejo y $p>1$ y $f(x)$ un polinomio trignométrico par no negativo tiene la forma $f(x) =\sum_{k=-n}^{n} c_k e^{ikx} $ y $g(x,z)$ una función compleja con variable compleja $ z$ y la variable real $x\in [-\pi ,\pi] $ y aquí la relación original es $$\bigg(\sup_{A} \int_{A} \bigg|\int_0^\pi f(x) g(x,z) dx\bigg|^p |dz|\bigg)^{1/p} \le \int_0^\pi f(x) \bigg(\sup_{A} \int_{A} |g(x.z)|^p |dz| \bigg)^{1/p} dx$$

Gracias por su ayuda

Answer 1

Por la desigualdad de Minkowski, para cualquier curva rectificable $\gamma$ $$ \Bigl(\int_{\gamma} \Bigl|\int_0^\pi f(x)\,g(x,z)\,dx\,\Bigr|^p\,|dz|\Bigr)^{1/p} \le \int_0^\pi |f(x)|\Bigl(\int_{\gamma} |g(x,z)|^p\,|dz|\Bigr)^{1/p}\,dx. $$ Tomando primero el sup del lado derecho sobre todas las curvas $A$ obtenemos $$ \Bigl(\int_{\gamma} \Bigl|\int_0^\pi f(x)\,g(x,z)\,dx\,\Bigr|^p\,|dz|\Bigr)^{1/p} \le \int_0^\pi |f(x)|\Bigl(\sup_{A}\int_{A} |g(x,z)|^p\,|dz|\Bigr)^{1/p}\,dx. $$ El lado derecho no depende de $\gamma$ . Tomando ahora el sup del lado izquierdo se demuestra la desigualdad deseada.