$F(\mathbf{x})$ es tangente a $z^2=x^2+y^2$ en todas partes

Question

Mostrar el campo vectorial $F(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix}$ es tangente a la curva $z^2=x^2+y^2$ en todas partes.

Geométricamente, esto es bastante sencillo: la curva está formada por dos conos unidos por sus puntas en el origen con apertura $\frac{\pi}{2}$ , mientras que $F(\mathbf{x})$ es un campo vectorial que va radialmente hacia fuera, por lo que la conclusión se deduce. ¿Hay alguna manera de mostrar esto algebraicamente, tal vez usando grad? ¿Y si el campo vectorial y la curva en cuestión no fueran tan fáciles de visualizar?

Answer 1

En lugar de escribir $z^2=x^2+y^2$ Puedo dejar $S=x^2+y^2-z^2$ y entonces la ecuación se convierte en $S=0$ . Piensa en $S=0$ como una superficie en 3D; podemos encontrar un vector normal a esa superficie calculando $\nabla S$ , \begin{equation} \nabla S=\begin{pmatrix} 2x\\2y\\-2z \end{pmatrix} . \fin{s} de la ecuación

Ahora, $\nabla S$ es normal a la superficie $S=0$ lo que equivale a decir $\nabla S$ es perpendicular a un vector $v$ si y sólo si $v$ es tangente a $S=0$ . Puede comprobar fácilmente que $\nabla S\cdot F=0$ lo que es suficiente para demostrar $F$ es un vector tangente en todas partes.