derivación de la fdc de la distribución uniforme

Question

Tengo que la pdf para una distribución uniforme viene dada por $$f(x) = \frac{1}{b-a}$$ si $a \leq x \leq b $ y $0$ de lo contrario.

Estoy tratando de derivar el cdf.

De la definición tengo que la cdf viene dada por $F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \ dt$

Así que lo dividiré en 3 intervalos:

Si $x < a$ tenemos que $f(x) = 0$ así que $F(x) = 0$ aquí.

Si $ a \leq x \leq b $ tenemos que $$F(x) = \int_{a}^x f(t) \ dt = \frac{x-a}{b-a}$$

Si $ x > b$ el pdf dice que $f(x) = 0$ aquí, por lo que seguramente la cdf sería $$F(x) = \int_{-\infty}^\infty 0 \ dt = 0 $$ pero sin embargo es igual a $1$ .

¿Qué es lo que falla en mi planteamiento y cómo se suelen obtener estas respuestas?

Answer 1

Si $x>b$ : $$ F(x)=\int_{-\infty}^af(t)\;dt+\int_a^b f(t)\;dt+\int_b^xf(t)\;dt $$ La primera integral es $0$ El segundo $1$ y el tercero $0$ .

Answer 2

Todo hasta $x > b$ es perfecto.

Pero su razonamiento en el caso final no es del todo correcto, porque la integral se toma sobre un intervalo que incluye partes del PDF que son distintas de cero. En otras palabras, el intervalo $(a,b)$ es un subconjunto del intervalo $(-\infty, x)$ si $x > b$ . Sólo porque la densidad es cero cuando $x > b$ no significa que la integral de $(-\infty, x)$ es a su vez cero, porque como podemos ver, hay puntos dentro del intervalo de integración para los que la densidad es positiva.

Por ejemplo, si te digo que calcules la integral de $g(x) = 1-x$ de $x = 0$ a $x = 1$ ¿Qué escribiría usted? $$\int_{x=0}^1 1-x \, dx = \left[x - \frac{x^2}{2}\right]_{x=0}^1 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.$$ Ahora bien, si te doy la función $$h(x) = \begin{cases} g(x), & 0 \le x \le 1 \\ 0, & x > 1, \end{cases},$$ ¿cuál sería la integral de $h$ ser de $x = 0$ a $x = 2$ ? Es lo mismo que lo anterior, porque el área bajo la curva de $h$ de $x = 1$ a $x = 2$ es cero, por lo que no has añadido ninguna área, pero el área total no es cero porque todavía tenías área de $x = 0$ a $x = 1$ .