tiempo de primer paso, movimiento browniano

Question

Hola,

Si X(t) es un movimiento browniano en 2D, donde X(0) = 0, entonces podemos preguntarnos cuál es el tiempo esperado que se requiere para alcanzar por primera vez un círculo de radio R, centrado en el origen. Este es un problema de tiempo de primer paso. Creo que para el movimiento browniano este es un tema bien entendido. El tiempo de primer paso, T, suele expresarse en forma de T en función de R: T(R).

Ahora, por favor considere este problema relacionado, ¿Cuál es el radio mínimo esperado R que contiene completamente la trayectoria de X(t) hasta algún tiempo T? Me gustaría escribir esto como R(T).

¿No son los dos problemas anteriores completamente equivalentes? Para mi trabajo en física, me gustaría formular el problema de la segunda manera. Pero parece que los matemáticos nunca lo formulan así. Parece que siempre lo ven como un problema de primer paso de tiempo. Me gustaría llamar a la segunda formulación del problema un problema de "Expansión de Límites". Pero no veo ninguna frase de este tipo en la literatura matemática.

En resumen, mi pregunta es, ¿cómo llamo a la función R(T)? Es totalmente equivalente a un problema de Tiempo de Primer Paso (o eso creo). Pero realmente no puedo llamarlo Primer Tiempo de Paso, porque no es un tiempo, es un radio. Cualquier sugerencia es bienvenida.

Gracias, Chris

Answer 1

Mientras que el valor esperado del tiempo de primer golpe del círculo de radio $r$ ciertamente no está directamente relacionado con el valor esperado del radio máximo alcanzado hasta el momento $t$ La siguiente fórmula que encontré en el artículo de Pitman y Yor muestra que las distribuciones de los dos procesos están relacionadas de una manera agradable: $$\displaystyle \mathcal{L}(M_{\delta*}^{-2}) = \mathcal{L}(\tau_\delta)$$ donde $M_{\delta*} = M_{\delta*}(1)= \sup_{0 < t < 1} B_\delta(t)$ es el máximo móvil del proceso de Bessel de dimensión $\delta$ hasta el momento $1$ , comenzó en $0$ y $\tau_\delta = \inf\{t: B_\delta(t) =1\}$ es el primer tiempo de golpeo de $1$ del mismo proceso de Bessel. Véase el siguiente artículo enlazado:

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.38.596

La fórmula se puede ver al darse cuenta de que $P(\tau_\delta > t) = P(M_{\delta*(1)} > t) = P(M_{\delta*}(t) > t^{-1/2})$ por la escala browniana: $c^{1/2} B_t $ tiene la misma ley que $B_{ct}$ .

Ahora la función de distribución de $\tau_\delta$ se da en el siguiente artículo como una serie infinita, procedente de las transformadas de Laplace.

http://arxiv.org/pdf/1106.6132v3.pdf

El valor esperado de $\tau_\delta$ tiene una fórmula cerrada en términos de funciones de Bessel (de ahí su nombre; véase la fórmula 2.1 en el artículo 2 enlazado). No espero que $\mathbb{E} M_{\delta*}$ para tener una fórmula de forma cerrada ya que equivale a $\mathbb{E} \tau_{\delta}^{-1/2}$ es decir, un momento fraccionario negativo.