conjunto acotado con perímetro finito

Question

$D\subset\mathbb{R}^{2}$ es un conjunto abierto acotado arbitrario con $C^{1}$ límite cuyo perímetro P es finito. Sea $f\,:\,\mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R}$ sea un determinado $C^{1}$ función que satisface $|f(x,y)\leq1$ para todo (x,y) en D. Tratando de demostrar $|\int\int_{D}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dxdy\,|\leq P$

Así que esto es de la forma exacta para el teorema de green donde f es realmente nuestra P para Pi + Qj. el otro término es 0 así que $\frac{\partial Q}{\partial x}$ es 0 pero no implica que Q = 0, por lo que seguimos teniendo un $\int Q\, dy$ término ¿cómo lo encuentro?

Answer 1

Por el comentario, digo que lo consideres: $$\left| \int_D \frac{\partial f}{\partial y}\right| = \left| \int_{\partial D} f \right| \leqslant \int_{\partial D} |f| \leqslant P \cdot \sup_{x \in \partial D} |f| \leqslant P $$