Diferencias centradas y discretización

Question

Me dan el problema de valor límite: $$-u''+\frac{1}{\epsilon}(u^{2}-1)u=0, \,\,\,\,\,\, x\in[-1,1]$$ donde $u(-1)=-1$ , $u(1)=1$ y $\epsilon$ es un parámetro conocido.

Necesito aproximar la segunda derivada usando diferencias centradas y luego escribir una discretización de la ecuación. No entiendo lo que es una discretización y no tengo muy claro lo de las diferencias centradas. ¿Puede alguien guiarme a través de este problema?

Answer 1

La idea de la discretización es formular un problema "infinitamente dimensional"/"continuo" como uno "finitamente dimensional"/"discreto". En concreto, en lugar de resolver una función $u:[-1,1] \to \mathbb R$ con un valor en cada número real del intervalo completo $[-1,1]$ tratamos de resolver los valores en puntos discretos $x_n\in[-1,1]$ .

Por ejemplo, podríamos tomar $x_n = -1 + 2n/N$ para $n=0,\cdots,N$ para ser $N+1$ puntos igualmente espaciados en este intervalo. Entonces podemos dejar que $u_n \approx u(x_n)$ sea la función que queremos resolver en cada uno de estos puntos. Las condiciones de contorno, por ejemplo, son simplemente $u_0=-1,u_N=1$ . Obsérvese que el espacio $\delta=x_{n+1}-x_n=2/N$ .

Ahora queremos aproximar la ecuación de la función continua $u(x)$ por lo que es una relación aproximada para el $u_n$ . Podemos aplicar la ecuación en un punto concreto $x_n$ donde encontramos $$-u''(x_n)+F(u_n)=0$$ donde $F(v)=(v^2-1)v/\epsilon$ - la última parte es fácil; la parte difícil es la derivada. Ésta sólo existe realmente en el caso continuo.

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La idea tiene su origen en la definición de derivada, o lo que es lo mismo, de serie de Taylor. Por ejemplo, $$f'(x)\approx (f(x+\delta)-f(x))/\delta$$ para los pequeños $\delta$ .

Utilizando esta relación un par de veces, se puede demostrar fácilmente que $$f''(x) \approx \frac{f(x+\delta)-2f(x)+f(x-\delta)}{\delta^2}$$ ¿Por qué? Comprueba la serie Taylor; $$f(x\pm\delta)=f(x)\pm \delta f'(x) + \frac{1}{2}\delta^2 f''(x)+\cdots$$

Por lo tanto, $$u''(x_n)\approx\frac{u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}}{(2/N)^2}$$

Sustituyendo esto se obtiene una ecuación que implica sólo el $u_n$ que puede aplicarse a cada $n=1,\cdots,N-1$ junto con las condiciones de contorno anteriores; ¡listo! Por tanto, la solución es

$u_n\approx u(x_n)$ , $x_n=-1+2n/N$ , $u_0=-1,u_N=+1$ , $$-\frac{u_{n+1}-\cdots}{4/N^2} + \frac{1}{\epsilon}(u_n^2-1)u_n=0\qquad \text{ for }n=1,\cdots,N-1$$

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Esto podría considerarse entonces como una relación de recurrencia analítica, o más típicamente como una ecuación matricial para el vector $\mathbf u = (u_0,\cdots,u_n)$ para los cálculos numéricos.