Demostrar que $f(m,n)=(m+2n, m-n)$ es 1-1 y Onto. El dominio y el codominio son $\mathbb R\times \mathbb R$

Question

Así que sé cómo demostrar la inyectividad $f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$ y la subjetividad, pero no estoy seguro de cómo hacerlo en este caso, ya que hay múltiples variables.

Answer 1

Tenga en cuenta que $f:\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R^2$ viene dada por $f(x)=Ax$ donde $$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$ Pero $\det A=-1-2=-3\neq0$ así que $A$ es invertible. Por lo tanto, $f$ es uno a uno y sobre.

Answer 2

Los métodos son precisamente los mismos. Para la inyectividad, se asume

$f(m_1,n_1) = f(m_2, n_2)$ y demostrar que esto implica $(m_1,n_1) = (m_2,n_2)$ . Para la subjetividad, se toma un punto genérico, digamos $(x,y)$ y necesita encontrar la opción de $(m,n)$ tal que $f(m,n) = (x,y)$ .