Dejemos que $\sigma\in S_n$ ser un $k$ -ciclo, $k>1$ . Demostrar que $\sigma^j$ (donde $j$ es un número entero) es un ciclo si y sólo si $j$ es coprima con $k$

Question

Dejemos que $\sigma \in S_n$ ser un $k$ -ciclo, $k>1$ . Demostrar que $\sigma^j$ (donde $j$ es un número entero) es un ciclo si y sólo si $j$ es coprima con $k$ .

Answer 1

Si $j$ y $k$ NO son coprimas, entonces $\mathrm{gcd}(j,k) = \ell > 1$ . Escriba $\sigma$ en notación de ciclo como $(i_0 i_1 \dots i_{k-1})$ . Ahora mira la órbita de $i_0$ en $\sigma^j$ . Consistirá en $i_0, i_j, i_{2j}, i_{3j}, \dots$ etc., donde los subíndices $j$ , $2j$ , $3j$ etc... son tomados mod $k$ . Pero como $\mathrm{lcm}(j,k) = \frac{jk}{\mathrm{gcd}(j,k)} = \left( \frac{k}{\ell}\right) j$ , se ve que $\left(\frac{k}{\ell}\right)j \equiv 0$ mod $k$ . Esto significa que $\sigma^{k/\ell}(i_0) = i_0$ y, por tanto, la órbita de $i_0$ en $\sigma^j$ tiene tamaño $\frac{k}{\ell} < k$ . Esto demuestra que $\sigma^j$ NO es un $k$ -ya que se rompe en ciclos disjuntos más pequeños.

Ahora sólo hay que demostrar lo contrario: que si $j$ y $k$ SON coprimos, entonces esto no puede ocurrir. O, equivalentemente, se podría demostrar que SI esto sucede (si $\sigma^j$ se rompe en ciclos disjuntos más pequeños), entonces $j$ y $k$ deben tener un factor común (a saber, el número de órbitas de $\sigma^j$ ).