¿Por qué $\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-1$

Question

Estoy leyendo la solución a un problema de libro de texto y como parte de esa solución, el paso final es pasar de $\frac{a-b}{b}$ à $\frac{a}{b}-1$ .

¿Cómo? No veo qué transformación hacer para $\frac{a-b}{b}$ para conseguir $\frac{a}{b}-1$ ?

Mi reflejo al mirar una fracción es tratar de multiplicar el denominador, pero si hago eso aquí sólo obtendría $a-b$

¿Por qué $\frac{a-b}{b}=\frac{a}{b}-1$

Answer 1

La división, al ser esencialmente una multiplicación por un inverso, es distributiva sobre la resta. $$\frac{a-b}b=\frac ab-\frac bb=\frac ab-1$$

Answer 2

Tal vez sea más fácil de la otra manera:

Reducir al común denominador, $$\frac ab-1=\frac ab-\frac bb=\frac{a-b}b.$$

Answer 3

Sólo porque $\dfrac{a-b}{b} = \dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{b}$

Answer 4

Esto se deduce del método para sumar/restar fracciones con el mismo denominador. Si dos fracciones tienen el mismo denominador, y se intenta sumarlas o restarlas, equivale a sumar o restar los numeradores y dejar el denominador sin cambios, como:

$$ \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2} = \dfrac{1 + 5}{2}$$

y

$$\dfrac{7}{3} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{7-2}{3}$$

La fórmula que mencionas en tu pregunta requiere que utilices este método al revés, es decir, en lugar de fusionar dos fracciones en una, debes separar una fracción en dos. Si tienes $\dfrac{a-b}{b}$ Entonces puedes separar esto en dos fracciones: $$\dfrac{a-b}{b} = \dfrac{a}{b} - \dfrac{b}{b}$$ ya que esto es sólo utilizar el método mencionado anteriormente al revés. Entonces, como $\dfrac{b}{b} = 1$ obtenemos $$\dfrac{a-b}{b} = \dfrac{a}{b} - \dfrac{b}{b} = \dfrac{a}{b} - 1.$$

¡¡Espero que eso ayude!! :)

Answer 5

$\frac{a-b}{b} = (a-b)\cdot b^{-1} = a\cdot b^{-1} - b\cdot b^{-1} = a\cdot b^{-1} - 1 = \frac{a}{b} - 1$