Demostrar por inducción que para todo $n \geq 3$ : $n^{n+1} > (n+1)^n$

Question

Actualmente estoy ayudando a un amigo mío a preparar su próximo examen. Un tema importante del examen será la inducción, por lo que le dije que debía practicarla mucho. Como al principio no tenía ni idea de cómo funcionaba la inducción, le mostré algunos ejemplos típicos.

Ahora me mostró un ejercicio con el que estaba teniendo problemas, que establece que uno debe probar $$n^{n+1} > (n+1)^n$$ para todos $n \geq 3$ . Tengo que admitir que yo también tengo problemas para mostrar esta desigualdad, ya que en todos mis intentos, mi límite inferior es demasiado bajo. Además, todavía no he averiguado cómo se obtiene la $(n+2)^{n+1}$ principalmente el número $2$ es un problema. Creo que esto podría resolverse utilizando el teorema del binomio, sin embargo, no creo que ya hayan visto el teorema del binomio en la escuela.

¿Existe un método fácil para demostrar esta desigualdad por inducción sin utilizar el teorema del binomio? Si no: ¿Cómo se puede demostrar utilizando el teorema del binomio?

Gracias por las respuestas de antemano.

Answer 1

En esta respuesta , se demuestra que La desigualdad de Bernoulli que a su vez se demuestra por inducción al final de esa respuesta, que $\left(1+\frac1n\right)^n$ es una secuencia creciente que es término a término menor que $\left(1+\frac1n\right)^{n+1}$ que es una secuencia decreciente. Esto significa que para todo $n\gt0$ , $$ \left(1+\frac1n\right)^n\le\left(1+\frac15\right)^6\lt3 $$ Por lo tanto, para $n\ge3$ tenemos $$ n\ge3\gt\left(1+\frac1n\right)^n $$ que, al multiplicarse por $n^n$ da la desigualdad solicitada para $n\ge3$ , $$ n^{n+1}\gt(n+1)^n $$

Answer 2

Para el paso de inducción, queremos demostrar que $$\frac{(k+1)^{k+2}}{(k+2)^{k+1}}\gt 1,$$ dado que $$\frac{k^{k+1}}{(k+1)^{k}}\gt 1.$$ Tenga en cuenta que $$ \frac{(k+1)^{k+2}}{(k+2)^{k+1}}=\left(\frac{(k+1)^{k+2}}{(k+2)^{k+1}}\cdot \frac{(k+1)^k}{k^{k+1}}\right)\left(\frac{k^{k+1}}{(k+1)^{k}}\right).$$ Por lo tanto, basta con demostrar que $$\frac{(k+1)^{k+2}}{(k+2)^{k+1}}\cdot \frac{(k+1)^k}{k^{k+1}}\gt 1.\tag{$ 1 $}$$ Reescribe el lado izquierdo de $(1)$ como $$\frac{(k+1)^{2k+2}}{(k+2)^{k+1}k^{k+1}}.\tag{$ 2 $}$$ Pero la expresión $(2)$ es el $(k+1)$ -enésima potencia de $\dfrac{(k+1)^2}{k(k+2)}$ y $(k+1)^2\gt k(k+2)$ .

Answer 3

Supongamos que la desigualdad se mantiene para $k$ $$ k^{k+1} > (k+1)^k \\ k^k k > (k+1)^k \\ \left( \frac {k+1}k\right )^k < k \\ \left( 1 + \frac 1k \right )^k < k $$ Ahora, hay que comprobar qué lado es mayor para $$ (k+1)^{k+2}\ ?\ (k+2)^{k+1} \\ (k+1)^{k+1} (k+1)\ ?\ (k+2)^{k+1} \\ k+1 \ ? \ \left( \frac {k+2}{k+1}\right )^{k+1} \\ k+1 \ ? \ \left( 1 + \frac 1{k+1}\right )^{k+1} \\ $$ Considere esta cadena de desigualdades $$ \left(1+\frac 1{k+1} \right)^{k+1} > \left(1+\frac 1k \right)^{k+1} = \left(1+\frac 1k \right)^k \left( 1+ \frac 1k\right) $$ Ahora, utiliza la desigualdad que se supone verdadera $$ \left(1+\frac 1k \right)^k \left( 1+ \frac 1k\right) < k \left( 1+ \frac 1k\right) = k + 1 $$ Así, la desigualdad final es $$ k+1 > \left( 1 + \frac 1{k+1}\right )^{k+1} $$ o bien $$ (k+1)^{k+2} > (k+2)^{k+1} $$

Answer 4

Definir la secuencia $f(n)$ = $\frac{n^{n+1}}{(n+1)^n}$ . La desigualdad $n^{n+1}>(n+1)^n$ es cierto para un determinado $n$ si y sólo si $f(n)>1$ .

La desigualdad se mantiene para n=3, así que ahora probamos nuestro paso inductivo. Supongamos que para un determinado $k$ , $f(k)>1$ . Ahora tenemos que demostrar que $f(k+1)>1$ .

Vemos que $\frac{f(k+1)}{f(k)}$ = $\frac{\frac{(k+1)^{k+2}}{(k+2)^{k+1}}}{\frac{k^{k+1}}{(k+1)^k}}$ = $\frac{(k+1)^{(k+2)+k}}{k^{k+1}(k+2)^{k+1}}$ = $\frac{(k+1)^{2k+2}}{(k^2+2k)^{k+1}}$ = $\frac{(k^2+2k+1)^{k+1}}{(k^2+2k)^{k+1}}$ >1. Por lo tanto, $f(n)$ es una secuencia creciente, por lo que $f(k+1)>1$ completando así nuestra prueba por inducción.

Answer 5

La premisa de la pregunta es incorrecta. No se trata de un problema en el que la inducción entera sea útil para ver o demostrar la verdad del enunciado.

En una forma, el problema es demostrar que $n^{1/n} > {(n+1)}^{1/{(n+1)}}$ . Esto tiene el efecto inductivo $n \to (n+1)$ pero se entiende mejor como la afirmación de que $f(x) = \frac{\log x}{x}$ es decreciente para todos los reales $x \geq 3$ (donde el significado de $3$ es "cualquier cosa $\geq e$ ") que es más evidente por la diferenciación, $f' = \frac{1- \log x}{x^2}$ .

En otra forma, $n > {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ el problema es esencialmente una petición para demostrar que $n > e = 2.718... $ para todos $n \geq 3$ si se permite el hecho de que $e_n = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ es una secuencia creciente que converge a $\hskip2pt e \hskip2pt$ desde abajo. El hecho no requiere inducción, es otra afirmación sobre lo real $n$ y se puede demostrar más fácilmente calculando $\frac{d}{dn}\log e_n$ .

Una variante de la segunda forma evita la necesidad de conocer un valor preciso para $e$ o mencionar $e$ en absoluto, utilizando la secuencia decreciente de límites superiores $ E_k = {(1 + \frac{1}{k})}^{k+1}$ y seleccionando un valor de $k$ tal que $E_k < 3$ (ver la solución recientemente publicada por robjohn con $k=6$ ). La disminución de $E_k$ se muestra de nuevo mediante la diferenciación de $\log E_k$ con respecto al real $k$ . Desde este punto de vista, el problema es (esencialmente) pedir que se demuestre que $e < 3$ que no es fundamentalmente una afirmación inductiva sobre cualquier función de $n$ .