Demostrar por inducción que para todo $n \geq 3$ : $n^{n+1} > (n+1)^n$

Question

Actualmente estoy ayudando a un amigo mío a preparar su próximo examen. Un tema importante del examen será la inducción, por lo que le dije que debía practicarla mucho. Como al principio no tenía ni idea de cómo funcionaba la inducción, le mostré algunos ejemplos típicos.

Ahora me mostró un ejercicio con el que estaba teniendo problemas, que establece que uno debe probar $$n^{n+1} > (n+1)^n$$ para todos $n \geq 3$ . Tengo que admitir que yo también tengo problemas para mostrar esta desigualdad, ya que en todos mis intentos, mi límite inferior es demasiado bajo. Además, todavía no he averiguado cómo se obtiene la $(n+2)^{n+1}$ principalmente el número $2$ es un problema. Creo que esto podría resolverse utilizando el teorema del binomio, sin embargo, no creo que ya hayan visto el teorema del binomio en la escuela.

¿Existe un método fácil para demostrar esta desigualdad por inducción sin utilizar el teorema del binomio? Si no: ¿Cómo se puede demostrar utilizando el teorema del binomio?

Gracias por las respuestas de antemano.

Answer 1

A veces el truco consiste en escribir el problema de otra forma.

La desigualdad equivale a

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < n$$

El paso inductivo sigue este camino:

$$ \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} < \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}= \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)$$

Utiliza P(n) y ya está....

Answer 2

Supongamos que la afirmación es válida para $n$ , por lo que tenemos $$n^{n+1} > (n+1)^n$$

Para una prueba por contradicción, supongamos que la afirmación falla para $n+1$ por lo que tenemos: $$(n+2)^{n+1} \geq (n+1)^{n+2}$$

Si se combinan estas dos desigualdades se obtiene: $$ (n^2 + 2n)^{n+1} = (n(n+2))^{n+1} > (n+1)^{2n+2} = (n^2+2n+1)^{n+1}$$ Está claro que esto es imposible. Por lo tanto, la reclamación de $n+1$ tiene que aguantar también.

Answer 3

Pista: ¿Qué tal si tratamos de mostrar una desigualdad equivalente $n>\left(1+\frac1n\right)^n$ para $n\ge 3$ ¿en su lugar?

Spoiler:

$1^\circ$ Es válido para $n=3$ , ya que $3>\frac{4^3}{3^3}=\frac{64}{27}=2+\frac{10}{27}$ .
$2^\circ$ Supongamos que se mantiene para $n$ . Entonces $n+1=n\left(1+\frac1n\right) > \left(1+\frac1n\right)\left(1+\frac1n\right)^n = \left(1+\frac1n\right)^{n+1} > \left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}$ .

Answer 4

Sugerencia: mostrar $$\frac{(n+1)^{n+2}}{(n+2)^{n+1}}> \frac{n^{n+1}}{(n+1)^n}$$ para $n>3$ o $$(n+2)^{n+1}n^{n+1}<(n+1)^{2n+2}.$$ (Esto es simplemente $(n+2)n<(n+1)^2$ .)

Answer 5

También

$\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n} = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i}\left ( \frac{1}{n} \right )^{i}=2+\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i!}\left ( \frac{1}{n} \right )^{i-1}\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ... \cdot (n-i+1)=$ $=2+\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i!}\cdot (1-\frac{1}{n})\cdot (1-\frac{2}{n})\cdot ... \cdot (1-\frac{i-1}{n}) < ...$

(porque $0<1-\frac{k}{n} < 1$ cuando k < n)

$...<2+\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i!}< ...$

(la pieza final es $k! > 2^{k-1}$ )

$...<2+\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{2^{i-1}}=1+\frac{1-\left ( \frac{1}{2} \right )^{n}}{1-\frac{1}{2}}=3-\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}<3$

Como resultado $\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n} < 3$