Secuencia exacta de láminas y secuencia asociada de módulos graduados

Question

Dejemos que $(X,\mathcal{O}_X)$ con $X=\mathbb{P}^n$ y considerar una secuencia exacta de gavillas de $\mathcal{O}_X$ -módulos $$0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{H} \to \mathcal{G} \to 0 $$ Supongamos que aplicamos el functor $\Gamma^*(\mathcal{F})=\bigoplus_{m \in \mathbb{Z}}\Gamma(X,\mathcal{F}(n))$ a la secuencia (el functor en general sólo es exacto a la izquierda) y sigue siendo exacto y se divide.

¿Qué podemos decir de la secuencia original? ¿Se divide la secuencia?

Answer 1

Daré un esbozo de la prueba de este hecho si todas las gavillas implicadas son cuasi-coherentes. Afirmo que la secuencia exacta original se divide.

En primer lugar, recuerda la construcción de Proj. Sea $A=\oplus_{n\geq 0}A_n$ sea un anillo conmutativo graduado, entonces $\operatorname{Proj} A$ es como un conjunto el conjunto de ideas primarias homogéneas de $A$ que no contiene el ideal trivial $A_+=\oplus_{n>0}A_n$ . Para cualquier homogeneidad $f\in A$ , $\operatorname{Proj}A$ ha distinguido la afinidad abierta $\operatorname{Spec}(A_f)_0$ (donde $A_f$ es la localización por $f$ y $(A_f)_0$ significa tomar la parte del grado cero). Para un grado $A$ módulo $M$ asociamos una gavilla cuasicoherente $\tilde{M}$ al tener su valor en $(A_f)_0$ sea $(M_f)_0$ .

Primero afirmo que para cualquier gajo cuasi-coherente $\mathscr{M}$ en $\mathbb{P}^n$ , $\widetilde{\Gamma^*(\mathscr{M})}$ es canónicamente isomorfo a $\mathscr{M}$ . Para demostrarlo hay que utilizar que el anillo graduado que define $\mathbb{P}^n$ está finitamente generada y generada en grado $1$ .

Dejemos que $A$ sigue siendo un anillo graduado como el anterior. Entonces, si $N$ y $M$ se clasifican $A$ módulos, y $N\to M$ un morfismo, induce un mapa $\tilde{N}\to \tilde{M}$ . Se demuestra que si $N\to M$ es inyectiva (resp suryectiva, biyectiva) en grados $n\gg 0$ entonces $\tilde{N}\to \tilde{M}$ es una inyección (resp surjection, isomorfismo).

En conjunto, los dos últimos párrafos son suficientes para implicar sus afirmaciones deseadas, ya que los isomorfismos $\widetilde{\Gamma^*(\mathscr{M})}\cong \mathscr{M}$ conseguirte un mapa de división $\mathcal{G}\to \mathcal{H}$ de que en el nivel de $\Gamma^*$ . Entonces, en el último párrafo, esto identifica $\mathcal{G}$ con $\mathcal{H}\oplus \mathcal{F}$ como a nivel de $\Gamma^*$ .