He intentado calcular la amplitud al cuadrado del siguiente digrama de energía propia:
donde se es un fermión neutro sin masa de Dirac, vrm es un neutrino diestro sin masa y x es un escalar con masa m.
Escribí el numerador de este proceso como:
$$ N = \bar{u}(p) (1-\gamma_5) (p\!\!\!/ +k\!\!\!/ ) (1+\gamma_5) u(p) \to p\!\!\!/ (1-\gamma_5) (p\!\!\!/ +k\!\!\!/ ) (1+\gamma_5) \\ \to p\!\!\!/ (1-\gamma_5) (p\!\!\!/ +k\!\!\!/ ) \to p_{\alpha} \gamma^{\alpha} (1-\gamma_5) (p_{\beta} \gamma^{\beta} + k_{\beta} \gamma^{\beta} ) \\ \to p_{\alpha} p_{\beta} \gamma^{\alpha} \gamma^{\beta} + p_{\alpha} k_{\beta}\gamma^{\alpha} \gamma^{\beta} - p_{\alpha} p_{\beta} \gamma^{\alpha} \gamma_{5 } \gamma^{\beta} - p_{\alpha} k_{\beta} \gamma^{\alpha} \gamma_{5} \gamma^{\beta} $$
No sé cómo el primer término como $$ p_{\alpha} p_{\beta} \gamma^{\alpha} \gamma^{\beta} $$ se puede calcular o el tercer término (si lo hice correctamente). Además, no sé cómo $$ p \cdot k,$$ que proviene del segundo término se puede calcular a partir de la cinemática del proceso, mientras que $$ p^2 = 0 $$ y $$ k^2 = m_\chi^2.$$
Nótese que: los momentos de las partículas en el diagrama de Feynman son se(p), vrm(p+k) y x(k)
También los vértices "x se vrm " provienen de estos términos lagrangianos:
$$ y (\bar{\nu_R^c} \chi s + \bar{s} \chi \nu_R^c ) $$ (donde s-> se, y \nu -> vrm)
$\bf \large{Edit}$
$N = Tr[p_\alpha \gamma^\alpha (p_\beta \gamma^\beta +k_\delta \gamma^\delta ) ] \to 4 (p_\alpha p^\alpha + p_\alpha k^\alpha) \to 4 p_\alpha k^\alpha $
ya que p^2 = 0 . Entonces la amplitud será proporcional a algún término como
$M \to p_\alpha \int \frac{dl^4}{(2\pi)^4} \frac{l^\alpha}{(l^2+\Delta)^2}$
que es igual a cero porque cualquier integración del número impar de $l $ ¡Desaparece!
