Comportamiento asintótico de la transformada de Laplace

Question

Si las funciones $x(t)$ y sus derivados $x'(t), x''(t), \ldots, x^n(t)$ son continuos* y $x(0^+) = x'(0^+) = x''(0^+) \ldots = x^{n-1}(0^+)=0$ ( $0^+$ denota el límite del lado derecho cuando la variable independiente se acerca a 0) y no tienen problemas de continuidad en $0$ entonces la transformada de Laplace de la derivada n de la función $x$ es

$$ \mathscr{L}\left [ x^{n}(t) \right ]= s^n X(s) $$

*Nota: la enésima derivada $x^n$ puede ser continua a trozos.

Los términos $-s^{n-1}x(0^+)-s^{n-2}x'(0^+) \ldots -s x^{n-2}(0^+) - x^{n-1}(0^+)$ son 0.

$\lim_{s \to \infty} s^n X(s) = 0$

Esto implica que $X(s) \to 0$ más rápido que

$$\frac{1}{s^n}$$

Por lo tanto,

$$X(s) = o \left (\frac {1}{s^n} \right )$$

a) ¿Por qué la función $x(t)$ y sus derivados $x'(t)$ , $x"(t)$ , $\ldots x^n(t)$ deben ser continuas y $x^n(t)$ ¿también podría ser continua a trozos?

b) ¿Por qué la función $x(t)$ y sus derivados $x'(t)$ , $x"(t)$ , $\ldots x^n(t)$ ¿tiene problemas de discontinuidad en 0? Aquí se está tomando el límite del lado derecho cuando la variable se aproxima a 0. Así que creo que no importa si estas funciones tienen discontinuidades en $t=0$ .

Editar:

Si las funciones $x(t)$ y sus derivados $x'(t)$ , $x"(t)$ , $\ldots , x^n(t)$ son continuas.

Y $x(0)$ = $x'(0)$ = $x"(0) \ldots = x^{n-1}(0)=0$ (Aquí he sustituido $(0^+)$ por $(0)$ )

y no tienen problemas de discontinuidad en $t=0$

entonces el $\mathscr{L}\{x^{(n)}\}(s) = s^{n}X(s) - s^{n-1}x(0) - \ldots - x^{(n-1)}(0)$ existe.

En este caso. Es necesario que las funciones no tengan problemas de discontinuidad en 0. Porque si los tienen no se puede evaluar la función o sus derivadas hasta $x^{(n-1)}$ en t=0.

Pero si uno dice que si $x(t)$ y sus derivados $x'(t)$ , $x"(t)$ , $\ldots , x^n(t)$ son continuas.

Y $x(0^+)$ = $x'(0^+)$ = $x"(0^+) \ldots = x^{n-1}(0^+)=0$ .

¿Es necesario el tercer supuesto "y no tienen problemas de discontinuidad en $t=0$ ", o se puede eliminar por completo?

Porque se están tomando los límites del lado derecho de la función $x(t)$ y sus derivados cuando $t$ se acerca a cero.

Nota: La función no es continua cuando dice que la función tiene problemas de discontinuidad.

Answer 1

Un caso sencillo. Si $x$ es $n-1$ veces diferenciable en $0$ entonces, según el teorema de Taylor

$$ x(t) = x(0) + \dot{x}(0)t + \frac{\ddot{x}(0)}{2!}t^2 + \ldots + \frac{x^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}t^{n-1} + r(t), $$

para $t\geq 0$ y $r(t) = o(t^{n-1})$ comme $t\to 0$ .

Bajo el supuesto de que $x(0) = \dot{x}(0) = \ldots = x^{(n-1)}(0) = 0$ tenemos $x(t) = o(t^{n-1})$ comme $t\to 0$ . Esto significa que para todos los $c>0$ Hay un $T>0$ para que $|x(t)| \leq c t^{n-1}$ para $t\in [0, T)$ . Si multiplicamos por $e^{-s\tau}$ e integrar desde $0$ a $\infty$ obtenemos

$$X(s) = o\left(\tfrac{1}{s^{n}}\right) \text{ as } s\to\infty,$$

donde $s\in\mathbb{R}$ .

Para que quede claro, esto se debe a que

\begin{align} X(s) {}={}& \int_0^\infty e^{-s\tau}x(\tau) \mathrm{d}\tau \\ {}={}& \int_0^\infty e^{-\xi}x(\xi/s) \mathrm{d}\xi \\ {}\approx{}& \int_0^\infty e^{-\xi} \cdot o\left(|{\xi}/{s}|^{n-1}\right)\mathrm{d}\xi \text{ as } s\to \infty \\ {}={}& o\left(\tfrac{1}{s^{n}}\right) \text{ as } s\to \infty \end{align}

Propuesta. Supongamos que $x$ es $n-1$ veces diferenciable para todo $t\in (0, t_0)$ para algunos $t_0 > 0$ . Supongamos que los siguientes límites existen y son iguales a cero: $x(0^+) = \ldots = x^{(n-1)}(0^+) = 0$ . Supongamos también que $x$ tiene una transformada de Laplace, que se denota por $X$ . Entonces, tenemos que

\begin{align} X(s) = o \left(\tfrac{1}{s^{n}}\right), \text{ as } s\to\infty, \end{align}

con $s\in\mathbb{R}$ .

Prueba. Desde $x(0^+) = \ldots = x^{(n-1)}(0^+) = 0$ para todos $\epsilon > 0$ hay un $T>0$ tal que $|x(t)| < \epsilon$ , $|\dot{x}(t)| < \epsilon$ , $\ldots$ , $|x^{(n-1)}(t)| < \epsilon$ para todos $t \in (0, T)$ . A continuación, elija un $\zeta \in (0, T)$ y aplicar el teorema de Taylor sobre $x$ en $\zeta$ :

\begin{align} x(t) = x(\zeta) + \dot{x}(t)(\zeta)(t-\zeta) + \frac{\ddot{x}(\zeta)}{2}(t-\zeta)^2 + \ldots + \frac{x^{(n-1)}}{(n-1)!}(t-\zeta)^{n-1} + r(t), \end{align}

donde $r(t) = o(|t-\zeta|^{n-1})$ . Pero entonces,

\begin{align} x(t) = \underbrace{\epsilon \left(1 + T + \tfrac{T^2}{2} + \ldots + \tfrac{T^{n-1}}{(n-1)!}\right)}_{\beta} + r(t), \end{align}

y procediendo como se ha indicado anteriormente, concluimos que $X(s) = o \left(\tfrac{1}{s^{n}}\right)$ . $\Box$

Sobre los supuestos. En el enunciado anterior no utilizamos los supuestos de continuidad a trozos, aunque estos se imponen a menudo (junto al orden exponencial) para garantizar que $x$ tiene una transformada de Laplace. Por cierto, ya que $x$ es $n-1$ tiempos diferenciables en $(0, t_0)$ sus derivados hasta el orden $n-2$ debe ser continua, por lo que sólo $x^{(n-1)}$ se puede suponer que es discontinua.

Si se trata de un ejercicio de un libro de texto, supongo que la suposición de que todas las derivadas son continuas se da para poder utilizar el hecho de que $\mathscr{L}\{x^{(n)}\}(s) = s^{n}X(s) - s^{n-1}x(0^+) - \ldots - x^{(n-1)}(0^+)$ que también se puede utilizar para demostrar el resultado anterior.

Actualización. He aquí un ejemplo de función $x(t)$ que satisface los supuestos de la proposición anterior, pero que no es continua en $0$ .

$$ x(t) = \begin{cases} 1, &\text{ if } t = 0 \\ t^2\sin(t), & \text{ if } 0 < t \leq 1 \\ e^{-t}, & \text{ if } t > 1 \end{cases} $$

Esto tiene una discontinuidad en $t=0$ (no importa) y otra discontinuidad en $t=1$ (de nuevo, no importa). Es continua e infinitamente diferenciable sobre $(0,1)$ y

$$ x(0^+) = \dot{x}(0^+) = \ddot{x}(0^+) = 0, $$

pero $x^{(3)}(0^+) = 6 \neq 0$ . Tenga en cuenta que $1 = x(0) \neq x(0^+) = 0$ .

Entonces,

$$ X(s) = o(1/s^3), \text{ as } s\to \infty. $$