El volumen del cono superior es igual a la mitad del volumen del cono entero. ¿Cuál es la relación entre el radio de la base del cono entero y el radio de la base del cono superior?
Lo tengo: $\sqrt{2h \over H}$ donde $h$ es la altura del cono superior y $H$ es la altura de todo el cono. Pero debe ser alguna constante según el libro del que se tomó esta pregunta.
El cono entero y el cono superior son similar . Eso significa que una es sólo una versión a escala de la otra.
Dejemos que $\lambda$ sea la relación entre el radio de la base del cono entero y el radio de la base del cono superior.
Si las dimensiones lineales de un objeto se escalan por el factor $\lambda$ entonces las áreas se escalan por el factor $\lambda^2$ y los volúmenes se escalan por el factor $\lambda^3$ .
Así, la relación de los volúmenes es $\lambda^3$ . Sabemos que $\lambda^3=2$ Así que $\lambda=2^{1/3}$ .
Observación: Podemos dejar que el radio de la base del cono superior sea $r$ y que su altura sea $h$ . Supongamos que el radio de la base de todo el cono es $\lambda r$ . Utilizando triángulos semejantes se puede demostrar que la altura de todo el cono es $\lambda h$ .
Así que el volumen del cono superior es $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ y el volumen de todo el cono es $\frac{1}{3}(\lambda r)^2(\lambda h)$ . Esto es $\frac{\lambda^3}{3}r^2h$ .
Encuentra el cociente de los volúmenes. Obtenemos $\lambda^3$ . Establece esto igual a $2$ .
El mismo resultado, pero un montón de trabajo innecesario.
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