La existencia única y el axioma de elección

Question

El axioma de elección establece que los productos arbitrarios de conjuntos no vacíos son no vacíos. Claramente, sólo necesitamos el axioma de elección para demostrar la no vacuidad del producto si hay infinitas funciones de elección. Si utilizamos una función de elección para construir un objeto matemático, el objeto dependerá a menudo de la función de elección específica que se utilice. Así que las construcciones que requieren el axioma de elección no suelen proporcionar la existencia de un objeto único con ciertas propiedades. Sin embargo, en algunos casos sí lo hacen. La existencia de un número cardinal para cada conjunto (ordinal que puede ser mapeado bijetivamente en el conjunto) es un ejemplo de ello.

¿Cuáles son los ejemplos naturales fuera de teoría de conjuntos en los que la existencia de un objeto matemático único con ciertas propiedades sólo se puede demostrar con el axioma de elección y donde la unicidad en sí misma puede ser probada en ZFC (no quiero que la no quiero que la unicidad dependa de un modelo específico de ZFC)?

La siguiente pregunta es un poco más vaga, pero me interesaría algún tipo de vista de pájaro sobre la cuestión.

¿Existen algunas pautas generales para entender en qué casos se puede utilizar el axioma de elección para construir un objeto probadamente único con determinadas propiedades?

Esta cuestión está motivada por una discusión sobre las propiedades de unicidad de ciertas construcciones de teoría de la medida en economía matemática que hacen un uso intensivo del análisis no estándar.

Editar: Los ejemplos hasta ahora pueden clasificarse en tres categorías:

Invariantes cardinales: Se utiliza el axioma de elección para construir una representación por algún ordinal. Como los ordinales están canónicamente bien ordenados, esto nos da un objeto único y definible con las propiedades deseadas. Ejemplo: Se toma la dimensión (como cardinal) de un espacio vectorial y se construye el espacio vectorial como funciones sobre subconjuntos finitos del cardinal (François G. Dorais).

Propiedades de la CA: Uno construye el objeto canónicamente "a mano" y luego utiliza el axioma de elección para demostrar que tiene una determinada propiedad. Ejemplo trivial: $2^\mathbb{R}$ como la familia de conjuntos bien ordenables de reales.

Emplear todas las funciones de elección: Aquí se consigue la unicidad exigiendo que el objeto contenga en algún sentido todos los objetos de un determinado tipo que se pueden obtener por AC. Ejemplos: La compactificación de Stone-Cech como el conjunto de todos los ultrafiltros sobre ella (Juris Steprans), o el espacio dual de un espacio vectorial, el espacio de todos los funcionales lineales. (Martin Brandenburg) El AC se utiliza para demostrar que estos espacios son suficientemente ricos. Formalmente, estos ejemplos podrían clasificarse en la segunda categoría, pero parecen tener un sabor diferente.

Answer 1

Teorema de Ulm me viene a la mente.

Esto afirma que dos abelios contables cualesquiera $p$ -Los grupos sin subgrupos divisibles tienen los mismos invariantes de Ulm si y sólo si son isomorfos. Creo que esto puede demostrarse en ZFC, y se basa en la elección (aunque posiblemente sólo la elección contable). Esto da grupos abelianos únicos (sólo hasta el isomorfismo) y termina clasificando grupos de torsión abelianos contables (hasta el isomorfismo).

Answer 2

Puede que sea una respuesta un poco trivial a esta (vieja) pregunta, pero como varias personas han reaccionado con sorpresa cuando lo he mencionado, y parece que entra en el ámbito de lo que se pregunta, permítanme decirlo:

El axioma de elección equivale a la siguiente afirmación:

Si $X$ es un conjunto, $\sim$ una relación de equivalencia sobre $X$ et $I$ un conjunto, entonces el mapa obvio $\Phi\colon X^I/(\sim^I) \to (X/{\sim})^I$ es una biyección.

(Aquí $X^I$ representa el conjunto de todos los $I$ -familias indexadas de elementos de $X$ y $\sim^I$ es la relación de equivalencia que se da entre $(x_i)_{i\in I}$ y $(y_i)_{i\in I}$ sur $X^I$ si $x_i \sim y_i$ para todos $i\in I$ y $\Phi$ toma la clase de $(x_i)_{i\in I}$ a $([x_i])_{i\in I}$ , donde $[x]$ denota la clase de $x$ mod  $\sim$ .)

Tenga en cuenta que, independientemente de AC, $\Phi$ es inyectiva por definición de $\sim^I$ .

(La equivalencia con AC de lo anterior es casi obvia. Si se cumple AC, entonces podemos levantar $(\bar x)_{i\in I}$ sur $(X/{\sim})^I$ a una familia $(x_i)_{\in I}$ sur $X^I$ eligiendo un representante para cada clase. Por el contrario, si lo anterior se cumple y $(Z_i)_{i\in I}$ es una familia de conjuntos habitados, sea $X$ sea su unión disjunta, $\sim$ la relación de equivalencia para la que $Z_i$ es la partición de $X$ para que $X/{\sim}$ est $I$ y utilizar lo anterior para levantar el elemento "identidad" de $(X/{\sim})^I = I^I$ a un elemento de $X^I$ para ver que $\prod_{i\in I} Z_i$ está habitada).

Así, en el contexto anterior, AC nos dice que un mapa inyectivo $\Phi$ es suryectiva, o, si queremos, que cada elemento del objetivo tiene un antecedente (necesariamente único) por $\Phi$ .

Answer 3

Con respecto a tu segunda pregunta (entiendo el requisito de unicidad en tus preguntas como "ser instaurado por términos de abstracción"):

Supongamos que $A$ es equivalente (en $\mathit{ZF}$ ) a una frase de la forma $\forall z\exists y B$ , para $B$ (demostrablemente en $\mathit{ZF}$ ) absoluta para los modelos transitivos de $\mathit{ZF}$ y que $\mathit{ZFC}\vdash A$ .

En este caso, $\mathit{ZFC}\vdash\forall x A^{\mathbf{L}(x)}$ (donde $x$ es la primera variable que no aparece en $A$ ) si y sólo si (omitiendo el cuantificador $\forall x$ ),

$$\mathit{ZFC}\vdash (\forall z\exists y B)^{\mathbf{L}(x)},$$

es decir, si y sólo si

$$\mathit{ZFC}\vdash (\forall z\in \mathbf{L}(x))(\exists y\in \mathbf{L}(x)) B,$$

porque $B$ es absoluta. Si esto es así, entonces

$$\mathit{ZFC}\vdash (x\in \mathbf{L}(x))\rightarrow(\exists y\in \mathbf{L}(x)) B'$$

para $B'$ la fórmula obtenida sustituyendo las apariciones libres de $z$ sur $B$ por $x$ . Pero entonces

$$\mathit{ZFC}\vdash (\exists y\in \mathbf{L}(x)) B'$$

y, sustituyendo de nuevo $x$ por $z$ ,

$$\mathit{ZFC}\vdash (\exists y\in \mathbf{L}(z)) B.$$

Esto significa que si $A$ es un teorema de $\mathit{ZFC}$ de la forma explicada anteriormente y tal que $\mathit{ZFC}\vdash\forall x A^{\mathbf{L}(x)}$ entonces $\mathit{ZFC}$ demuestra que dado un conjunto $z$ existe un conjunto $y$ sur $\mathbf{L}(z)$ tal que $B$ . Por lo tanto, existe una composición de operaciones de Gödel aplicadas a algunos elementos en el cierre transitivo de $z$ que te da un testigo de esa existencia. Por lo tanto, incluso en este caso simple no tienes instanciación por un término de abstracción con parámetro $z$ pero tiene algo parecido, es decir, un término con parámetros en el cierre transitivo de $z$ . Creo que no hay manera de mejorar sustancialmente esto.

Los llamados axiomas de existencia de la teoría de conjuntos se clasifican según esta condición de ser instanciados por un término de abstracción o no. El axioma de elección es el ejemplo de axioma de existencia que no está instanciado por un término de abstracción. Creo que esta es una condición inadecuada para clasificar los axiomas y estas y otras cuestiones relacionadas son el tema de mi artículo " Sobre la existencia en la teoría de conjuntos " en la revista de lógica formal de Notre Dame.