La existencia única y el axioma de elección

Question

El axioma de elección establece que los productos arbitrarios de conjuntos no vacíos son no vacíos. Claramente, sólo necesitamos el axioma de elección para demostrar la no vacuidad del producto si hay infinitas funciones de elección. Si utilizamos una función de elección para construir un objeto matemático, el objeto dependerá a menudo de la función de elección específica que se utilice. Así que las construcciones que requieren el axioma de elección no suelen proporcionar la existencia de un objeto único con ciertas propiedades. Sin embargo, en algunos casos sí lo hacen. La existencia de un número cardinal para cada conjunto (ordinal que puede ser mapeado bijetivamente en el conjunto) es un ejemplo de ello.

¿Cuáles son los ejemplos naturales fuera de teoría de conjuntos en los que la existencia de un objeto matemático único con ciertas propiedades sólo se puede demostrar con el axioma de elección y donde la unicidad en sí misma puede ser probada en ZFC (no quiero que la no quiero que la unicidad dependa de un modelo específico de ZFC)?

La siguiente pregunta es un poco más vaga, pero me interesaría algún tipo de vista de pájaro sobre la cuestión.

¿Existen algunas pautas generales para entender en qué casos se puede utilizar el axioma de elección para construir un objeto probadamente único con determinadas propiedades?

Esta cuestión está motivada por una discusión sobre las propiedades de unicidad de ciertas construcciones de teoría de la medida en economía matemática que hacen un uso intensivo del análisis no estándar.

Editar: Los ejemplos hasta ahora pueden clasificarse en tres categorías:

Invariantes cardinales: Se utiliza el axioma de elección para construir una representación por algún ordinal. Como los ordinales están canónicamente bien ordenados, esto nos da un objeto único y definible con las propiedades deseadas. Ejemplo: Se toma la dimensión (como cardinal) de un espacio vectorial y se construye el espacio vectorial como funciones sobre subconjuntos finitos del cardinal (François G. Dorais).

Propiedades de la CA: Uno construye el objeto canónicamente "a mano" y luego utiliza el axioma de elección para demostrar que tiene una determinada propiedad. Ejemplo trivial: $2^\mathbb{R}$ como la familia de conjuntos bien ordenables de reales.

Emplear todas las funciones de elección: Aquí se consigue la unicidad exigiendo que el objeto contenga en algún sentido todos los objetos de un determinado tipo que se pueden obtener por AC. Ejemplos: La compactificación de Stone-Cech como el conjunto de todos los ultrafiltros sobre ella (Juris Steprans), o el espacio dual de un espacio vectorial, el espacio de todos los funcionales lineales. (Martin Brandenburg) El AC se utiliza para demostrar que estos espacios son suficientemente ricos. Formalmente, estos ejemplos podrían clasificarse en la segunda categoría, pero parecen tener un sabor diferente.

Answer 1

Esto surgió ayer en mi curso de Análisis Real. No estoy seguro de que sea el tipo de cosa que buscas y tampoco estoy seguro de que el uso de $AC$ es esencial, pero .

Supongamos que $X$ es un espacio métrico completo y $\{E_n:n\in \omega\}$ es una secuencia anidada de subconjuntos cerrados no vacíos de $X$ tal que $\lim_{n \to \infty} \operatorname{diam} (E_n)=0$ . Entonces hay un punto $p$ que pertenece a cada $E_n$ .

La única prueba que conozco de esto utiliza la elección contable para obtener una secuencia $\{ x_n\}$ avec $x_n \in E_n$ entonces esta secuencia es una secuencia de Cauchy, etc.

Pero entonces el objeto cuya existencia se intenta demostrar (es decir $p$ ) es única, por la condición de los diámetros.

Answer 2

Si estás satisfecho con tu ejemplo de los cardenales como objetos únicos definidos mediante la elección, entonces hay una respuesta fácil a tu pregunta. Obsérvese que no hay un ordinal único que esté en correspondencia biyectiva con cada conjunto; hay muchos, pero siempre hay al menos uno que llamamos cardinal. Así que la unicidad proviene de la buena ordenación de los ordinales. Dado el axioma de elección, siempre se puede ordenar bien el dominio de los objetos en los que se está interesado y luego elegir el menor. Esto, por supuesto, será único, pero dudo que esto sea lo que tenías en mente. Pero creo que muestra que se necesita un ejemplo mejor que los cardinales para la unicidad.

Se pueden construir modelos saturados por inducción transfinita y luego demostrar que, bajo ciertas circunstancias, éstos son únicos. También se tiene $\beta \mathbb{N}\setminus \mathbb{N}$ que necesita que la elección no sea vacía, y también es única --- pero probablemente tampoco es lo que tenías en mente.

Answer 3

En Un modelo no estándar definible de los reales Kanovei y Shelah sorprendentemente lograron demostrar la existencia de un modelo no estándar de los reales definible por ZFC (es decir, especificable mediante una construcción explícita de ZFC). Se sabe que la existencia de un modelo no estándar de los reales requiere una versión de AC.

Answer 4

Cuando dice "único", ¿con qué rigor lo entiende? Por ejemplo, ¿le gustaría ver ejemplos de objetos algebraicos que se demuestren con el axioma de elección y que sean únicos hasta el isomorfismo?

Un posible ejemplo que se me ocurre es la construcción del casco inyectivo de un módulo $M$ sobre un anillo. El argumento que conozco para incrustar un módulo en un inyectivo requiere El criterio de Baer que parece requerir el axioma de elección. Después de incrustar $M$ en un inyectivo, hay que reducirlo a un submódulo inyectivo mínimo que contenga $M$ y esto también parece utilizar la elección.

Sin embargo, si existe un casco inyectivo entonces me parece que es único hasta el isomorfismo sin requerir el axioma de elección.

(Obsérvese que éste es un caso en el que el objeto es único hasta el isomorfismo, pero no es único hasta el isomorfismo único. Un ejemplo similar es el cierre algebraico de un campo $K$ . Estuve a punto de citar esto como ejemplo del fenómeno anterior, pero me di cuenta de que la prueba de la unicidad de $\overline{K}$ en Lang's Álgebra por ejemplo, utiliza la elección).

Answer 5

Utilizo la siguiente interpretación -espero que correcta- de la pregunta: Buscamos ejemplos en los que AC nos permite construir un objeto, pero AC también demuestra que este objeto es único (hasta el isomorfismo único si este objeto es estructurado).

¿Qué pasa con la función de dimensión $\dim$ que asocia a todo espacio vectorial sobre $k$ ¿un número cardinal? Está determinado de forma única por $\dim(k)=1$ y $\dim(\bigoplus_i V_i) = \sum_i \dim(V_i)$ . Obsérvese que la noción de número cardinal también tiene sentido en ausencia de AC; así como su suma y por tanto esta función $\dim$ . Pero la existencia y la singularidad requieren de AC.

Del mismo modo, el grado de trascendencia $\mathrm{tr.deg}_k$ se asocia a cada extensión de campo de $k$ un número cardinal. Si variamos $k$ se caracterizan por (1) $\mathrm{tr.deg}_k(k[t])=1$ , (2) $\mathrm{tr.deg}_k(E) = \mathrm{tr.deg}_F(E) \cdot \mathrm{tr.deg}_k(F)$ para $k \subseteq E \subseteq F$ , (3) $\mathrm{tr.deg}_k(E)=0$ si $E/k$ es algebraico, (4) $\mathrm{tr.deg}_k(\mathrm{Q}(\bigotimes_i R_i)) = \sum_i \mathrm{tr.deg}_k(\mathrm{Q}(R_i))$ si $R_i/k$ son anillos polinómicos.

Para ir en una dirección ligeramente diferente y probablemente más interesante: A menudo se necesita AC para demostrar que algún objeto tiene una determinada propiedad, aunque este objeto pueda definirse y entenderse a priori sin AC. Hay montones de ejemplos en el álgebra conmutativa y la geometría algebraica, por ejemplo:

Dejemos que $k$ sea un campo algebraicamente cerrado, por ejemplo $\mathbb{C}$ . Si $X$ , $Y$ son integrales $k$ -esquemas, entonces $X \times_k Y$ es de nuevo integral. El caso afín es: Si $A$ , $B$ son $k$ -sin divisores cero, entonces lo mismo es cierto para $A \otimes_k B$ . Las únicas pruebas que conozco para esto utilizan AC. Así que en este caso, AC también demuestra la existencia del campo cociente de $A \otimes_k B$ , lo que no tendría sentido si $A \otimes_k B$ no era un dominio integral.

En álgebra lineal, se puede escribir el mapa natural $i : V \to V^{**}$ . Es la imagen $W$ consiste precisamente en los funcionales $V^* \to k$ que son continuas con respecto a la topología débil-*, véase Descripción intrínseca de la imagen de $V \to V^{**}$ . Tienes que usar AC para demostrar que $i$ es inyectiva y, por tanto, construye el mapa inverso $W \to V$ .

No estoy del todo satisfecho con estos ejemplos. Espero que alguien más encuentre ejemplos más naturales.