convergencia uniforme de una serie de Fourier a una función periódica continua en $[-\pi,\pi]$

Question

con la ayuda de la teoría de series de Fourier en $[-\pi,\pi]$ demuestran que para cualquier función continua periódica (de valor complejo) $f$ en $[-\pi,\pi]$ del período $2\pi$ y $\epsilon>0$ existe $P=\sum_{|k|\le N} c_ke^{ikx},n\in\mathbb N,c_k\in\mathbb C,$ (para todos los $k$ ) tal que $|f(x)-P(x)|<\epsilon$ para todos $x\in [-\pi,\pi]$ .

Sé que para que una serie de Fourier converja de forma uniforme es necesario que la función sea suave a trozos o continua a trozos y diferenciable en $[-\pi,\pi]$ . Esta pregunta no establece esa condición. ¿Alguna idea de cómo solucionar la pregunta anterior? gracias

Answer 1

Deberías formular tu pregunta correctamente. No es cierto que dado cualquier mapa continuo $f$ en el círculo unitario, su serie de Fourier debe converger uniformemente. De hecho, la serie de Fourier podría no converger ni siquiera puntualmente. Lo que usted ha pedido aquí, es una prueba del hecho de que todo continuo $2\pi$ -mapa periódico $f$ en $[-\pi,\pi]$ puede ser aproximado uniformemente por una secuencia de polinomios trigonométricos,que es una forma de teorema de aproximación de Weierstrass.La cuestión es que esos $c_{k}'s$ La forma estándar de demostrarlo es utilizando la sumabilidad de Fejer de las series de Fourier.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Fejér%27s_theorem

Aquí, como se puede ver, la secuencia de polinomios trigonométricos que convergen uniformemente a $f$ se da por los medios de Cesaro. Espero que esto ayude.