Countably localmente finitas y cubiertas localmente finitas

Question

Estoy tratando de entender la prueba anterior. Mi problema es que no logro entender por qué necesitamos construir el vecindario $W_1\cap...\cap W_n\cap H_x$ de $x$ que se interseca con finitos elementos de $\mathcal V$. Porque tanto $W_1\cap...\cap W_n$ como $H_x$ parecen ser vecindarios de $x$ que se intersecan con finitos elementos de $\mathcal V$.

Answer 1

No veo por qué $H_x \in \mathcal{H}_n$ solo intersectaría finitamente muchos miembros de $\mathcal{V}$. No se intersecta con ninguno de los $V_H$ para $H$ con índice minimal más alto y queremos preservar eso. Pero también tenemos que cuidar de los primeros $n$ de $\mathcal{H}_n$, así que tomando un $W_i$ para cada $i$ menor o igual se encarga de eso e intersectar con $H_x$ (haciéndolo más pequeño) añade la propiedad de no intersectar con $V_H$ de índice más alto. Ninguno es suficiente por sí mismo pero la intersección logra ambos, similar a tomar el mínimo de algunas finitamente muchas $\delta$'s en algunas demostraciones de continuidad métrica.