Estoy tratando de entender la prueba anterior. Mi problema es que no logro entender por qué necesitamos construir el vecindario $W_1\cap...\cap W_n\cap H_x$ de $x$ que se interseca con finitos elementos de $\mathcal V$. Porque tanto $W_1\cap...\cap W_n$ como $H_x$ parecen ser vecindarios de $x$ que se intersecan con finitos elementos de $\mathcal V$.
No veo por qué $H_x \in \mathcal{H}_n$ solo intersectaría finitamente muchos miembros de $\mathcal{V}$. No se intersecta con ninguno de los $V_H$ para $H$ con índice minimal más alto y queremos preservar eso. Pero también tenemos que cuidar de los primeros $n$ de $\mathcal{H}_n$, así que tomando un $W_i$ para cada $i$ menor o igual se encarga de eso e intersectar con $H_x$ (haciéndolo más pequeño) añade la propiedad de no intersectar con $V_H$ de índice más alto. Ninguno es suficiente por sí mismo pero la intersección logra ambos, similar a tomar el mínimo de algunas finitamente muchas $\delta$'s en algunas demostraciones de continuidad métrica.
El hecho de que tengamos unión contable de $\mathcal H_n$ es esencial: el conjunto de índices está bien ordenado (por lo que el índice mínimo está bien definido) y cualquier índice tiene finitos predecesores restantes para ocuparse (usando intersecciones finitas de vecindades). Divertido de darse cuenta quizás.
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Mi nota aquí tiene la misma prueba en el paso $(2)\implies (3)$. La notación es ligeramente diferente pero otro análisis podría ser útil. Aunque creo que $V_i$ debería ser $O_i.
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@HennoBrandsma, parece que estás usando la misma prueba aquí con $V$ en lugar de $H_x$ y $N_i$ en lugar de $W_i$.
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Sí, es la prueba original y estándar (por E. Michael) para este hecho. Las pruebas son las mismas en todos los textos que conozco al menos.
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@HennoBrandsma, pero ¿por qué consideramos la intersección cuando $V$ es suficiente?
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$V$ (no definido en tu prueba) no es suficiente. $W$ logra una situación de lo mejor de ambos mundos.
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El texto de Munkres tiene una representación gráfica de esta misma prueba que yo recuerde. Tal vez eso también ayude.
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No se ha incluido ninguna imagen pero otra copia de la misma prueba en la sección 41, de 1 a 2. Otra notación, pero bastante clara en mi humilde opinión.
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La imagen del enunciado del lema y la imagen de la prueba (mala práctica usar una imagen por cierto) parecen provenir de dos textos diferentes. ¿Cuáles son? Por curiosidad.
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@HennoBrandsma, faculty.etsu.edu/gardnerr/5357/Beamer-Proofs/… y Fundamentos de Topología General por William J. Pervin y Ralph P. Boas
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¿Y por qué preguntas acerca de la misma prueba en este caso, en comparación con la copia digital de Munkres?
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@HennoBrandsma, Intenté leer diferentes versiones de la prueba para entenderla. Pero luego la idea quedó clara para mí con tu respuesta.
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@HennoBrandsma, Hay algunas direcciones de la prueba que autores, incluido usted, no han demostrado porque la prueba es clara. ¿Podría por favor verificar si mi demostración es correcta? i.imgur.com/TW86kF9.png
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Sí, esas son verdaderamente triviales: un recubrimiento abierto es un recubrimiento (simplemente "olvidamos" la apertura) y un recubrimiento localmente finito es $\sigma$-localmente finito porque una familia es una unión contable también. Tenga en cuenta que la regularidad es irrelevante para estos pasos. Si mal no recuerdo, esto se usa para formar un refinamiento cerrado localmente finito a un refinamiento abierto localmente finito (es decir, paracompacto).