Número de formas de elegir $n$ cosas de $n$ cosas parecidas a la "a" $n$ cosas parecidas a la "b" y $n$ diferentes cosas.

Question

Número de formas de elegir $n$ cosas de $n$ cosas parecidas a la "a" $n$ cosas parecidas a la "b" y $n$ diferentes cosas.

La respuesta es $(n+2)2^{n-1}$ . ¿Pero cómo probarlo ?

Answer 1

Supongamos que elegimos n objetos de $\{a,\cdots,a,b,\cdots,b, c_{1},\cdots,c_{n}\}$
donde hay n a's y n b's.

Si elegimos k elementos de $\{a,\cdots,a,b,\cdots,b\}$ Hay $k+1$ formas de hacerlo;

y luego todavía tenemos que elegir $n-k$ elementos de $\{c_1,\cdots,c_n\}$ ,
que se puede hacer en $\binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}$ formas.

Por lo tanto, el número total de opciones viene dado por $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (k+1)\binom{n}{k}$ .

Desde $\displaystyle(x+1)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k$ , $\;\;\;\;\;\displaystyle x(x+1)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{k+1}$ así que diferenciando da $(x+1)^{n-1}[(n+1)x+1]=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (k+1)\binom{n}{k}x^k$ .

Ahora sustituyendo $x=1$ da que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (k+1)\binom{n}{k}=2^{n-1}(n+2)$ .

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Otra forma de evaluar esto sería dividir la suma como $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k\binom{n}{k}+\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}$ para conseguir $n2^{n-1}+2^n=2^{n-1}(n+2)$ .

Answer 2

En esta fase, el problema combinatorio no está claro. Damos una sugerencia para tratar una suma bastante parecida a la que tienes al final del post.

Parece que está pidiendo una forma cerrada para algo como $$n\binom{n}{0}+(n-1)\binom{n}{1}+(n-2)\binom{n}{2}+\cdots +(1)\binom{n}{1}$$ Nótese que por el Teorema del Binomio, $$(x+1)^n=\binom{n}{0}x^n+\binom{n}{1}x^{n-1}+ \binom{n}{2}x^{n-2}+\cdots+\binom{n}{n-1}x+\binom{n}{n}.$$ Diferenciar. Obtenemos $$n(x+1)^{n-1}=n\binom{n}{0}x^{n-1}+(n-1)\binom{n}{1}x^{n-2}+(n-2)\binom{n}{2}x^{n-3}+\cdots+ (1)\binom{n}{n-1}.$$ Poner $x=1$ . Obtenemos $$n2^n =n\binom{n}{0}+(n-1)\binom{n}{1}+(n-2)\binom{n}{2}+\cdots+\binom{n}{n-1}.$$