La probabilidad p+k es un primer

Question

Si p es un número primo, y k es un entero par, ¿cuál es la probabilidad p+k es un número primo?

De acuerdo a mi simulaciones p+108 es un número primo de dos veces tan a menudo como p+344

Answer 1

Tenga en cuenta que si $p \equiv 1 \mod 3$, $p + 344$ es divisible por 3 y por tanto debe ser compuesto. Por otro lado, $p + 108 \equiv p \mod 3$. Por lo tanto los números primos $p$ $p+344$ prime puede ocurrir en un solo residuo de la clase mod 3, pero aquellos con $p+108$ prime puede ocurrir en dos clases de residuos mod 3. Por otro lado, $p + 344 \equiv p \mod 43$. Así que yo esperaría que los números primos $p + 108$ ocurriría $(2/1) (41/42) = 41/21$ veces tan a menudo como $p + 344$.

Answer 2

Técnicamente, la respuesta a tu pregunta es cero. Si usted fix $k$ y tome el número de números primos $p$ menos de $N$ tal que $p+k$ es primo y se divide por el número de números primos menos de $N$ y tomar el límite cuando $N$ va al infinito, se obtiene cero.