Fuente moderna de espectros (incluidos los espectros de anillos)

Question

Estoy buscando una introducción moderna a los espectros que mejore el tratamiento de Adams en sus apuntes de "Homotopía estable y homología generalizada" (por mejorar me refiero a tener en cuenta lo que se ha aprendido desde que se escribieron los apuntes). En particular, estoy interesado en una fuente que cubra algunas de las variaciones de los espectros (espectros CW, espectros simétricos, otros tipos/categorías de espectros, etc.) y espectros de anillos.

Pregunta: ¿Cuál es una buena introducción al punto de vista moderno sobre los espectros?

Me interesa especialmente la secuencia espectral estable/inestable de Adams, pero la fuente no tiene por qué tener ese objetivo.

Como apunte señalaré que las notas de Hatcher en su libro inacabado sobre secuencias espectrales tiene una corta pero agradable, clara y concreta introducción a los espectros. No entra en el detalle y la profundidad que necesito.

Answer 1

[Soy un novato, y esto se publicó fuera de orden: responde a la pregunta de Bak más abajo].

Claro, puedo proporcionarlo. La referencia citada fue publicada en 1995, que fue mucho antes de que los detalles de los espectros simétricos u ortogonales estuvieran disponibles, por lo que da una buena cantidad de antecedentes, pero sólo se refiere a los espectros EKMM para una categoría moderna. Hay un artículo (Mandell, May, Schwede, Shipley) que compara todas las opciones excepto el EKMM, y hay varios documentos que comparan que comparan esas opciones con el EKMM, empezando por un artículo de Schwede. Estos documentos son quizás más técnicos de lo que quieres. Un estudio reciente compara los distintos enfoques filosóficamente filosóficamente: véanse las secciones 11 y 12 de mi artículo

¿Qué es exactamente $E_{\infty}$ espacios anulares y $E_{\infty}$ ¿espectro de anillos? Geometry \& Topology Monographs 16(2009), 215--282.

Esto da referencias y es bastante independiente de las secciones 1-10. Comienza con un teorema (11.1) de Gaunce Lewis que explica que no hay una elección ideal de categoría: si supones que tu categoría tiene todas las propiedades buenas que quieres, llegas a una contradicción. La incompatibilidad viene cuando se pide una estructura simétrica monoidal homotópica en tu categoría de espectros que también tenga una adyacencia monoidal homotópicamente significativa $(\Sigma^{\infty},\Omega^{\infty})$ relacionando espacios y espectros. Soy anticuado quizá, pero creo que los espacios siguen siendo importantes.

El EKMM se acerca lo más posible a tener una adición de este tipo, con la relacionada ventaja de que todos los objetos son fibrantes y la desventaja de que el espectro de la esfera no es cofibrante. Los espectros simétricos y ortogonales tienen la ventaja de que son mucho más fáciles de definir y el espectro de la esfera es cofibrante.
La versión simplificada de los espectros simétricos tiene la ventaja de que es especialmente especialmente bien adaptada al mundo motivacional. Los espectros ortogonales tienen la ventaja de que se adaptan mucho mejor a las generalizaciones equivariantes y parametrizadas que los espectros simétricos. Los rasgos comunes son capturados por la de equivalencias de Quillen que relacionan no sólo todas las construcciones conocidas sino todas las posibles categorías de modelos ``buenos'' de los espectros: hay una axiomatización debida a Shipley; los espectros simétricos juegan un papel privilegiado en la demostración.

Answer 2

Probablemente no exista una fuente ideal para ello. La opción canónica para los espectros simétricos es probablemente el proyecto de libro de Stefan Schwede http://www.math.uni-bonn.de/~schwede/SymSpec.pdf . Allí encontrará un buen tratamiento de los espectros simétricos y especialmente de los espectros de anillos y su comparación con otros tipos de espectros. No hay nada allí sobre la secuencia espectral de Adams, pero probablemente sabes que el tratamiento de la secuencia espectral de Adams se basa principalmente en las propiedades formales de los espectros, que se pueden mostrar en cualquier modelo y, por lo tanto, el tratamiento de Adams podría seguir siendo uno de los mejores.

Answer 3

Probablemente ninguno de ellos sea exactamente lo que buscas, pero aquí hay dos referencias que me vienen a la mente y que podrían tener algo de lo que quieres:

Algebraic Topology de Robert M. Switzer es una buena fuente clásica. No tiene las cosas más nuevas que estás buscando, pero es menos ondulante que lo que suele ser Adams.

Sobre los espectros Thom, la orientabilidad y el cobordismo, por Yuli Rudyak. No recuerdo exactamente lo que contiene (probablemente no son espectros simétricos), pero me ha parecido una fuente útil en el pasado.

Ciertamente, ambos manejan espectros de anillo y espectros de módulo.

Answer 4

Urs Schreiber ha escrito hermosas notas sobre la Teoría de la Homotopía Estable. Se pueden encontrar ici . Empieza desde un nivel muy básico y llega hasta las secuencias espectrales de Adams. He estudiado el 'Preludio' y la 'Parte 1', y encontré las notas muy claramente escritas. (De hecho, me gustaría que todos los libros/notas de matemáticas estuvieran escritos con tanta claridad como estos). Espero que te resulten útiles.

Answer 5

He encontrado el libro de Barnes y Roitzheim Fundamentos de la teoría de la homotopía estable para ser una buena introducción. Citaré mi reseña de cuando salió por primera vez.

FOUNDATIONS llena una importante pieza que faltaba en la literatura de la teoría de la homotopía: una introducción a la homotopía estable en un lenguaje moderno que no asume ningún conocimiento previo del tema. Barnes y Roitzheim abordan la teoría de la homotopía estable desde el punto de vista de las categorías de modelos, lo que les permite discutir los fenómenos estables en un contexto adecuadamente amplio sin abrumar al estudiante no familiarizado. Esto también permite una exposición más clara de la teoría particular de los espectros topológicos, que se entiende más fácilmente y se separa de la teoría general con dicha teoría general ya resuelta. La estructura lógica del texto es, en general, magnífica, con una motivación bien establecida y una "historia" clara a seguir a través de cada capítulo y a través del texto en su conjunto (sin perjuicio de algunas referencias a capítulos futuros que, por lo general, pueden tomarse a pies juntillas). El apéndice contiene los antecedentes categóricos necesarios del modelo, pero son bastante escasos y a menudo se escatiman las pruebas; yo recomendaría aprender los fundamentos del documento clásico de Dwyer y Spalinski y consultar el apéndice y sus referencias cuando sea necesario.

Sólo hay dos problemas que tengo con el texto. El primero son los errores. FUNDAMENTOS es un texto masivo que se encuentra en su primera edición, por lo que es natural que contenga algunos errores, pero son lo suficientemente frecuentes como para resultar ocasionalmente confusos. Además, si bien la mayoría de los errores se notan y se arreglan fácilmente por el lector atento, hay dos o tres pruebas que necesitan una revisión más seria. No cabe duda de que esto será menos problemático con el paso del tiempo, con la redacción de las erratas y la publicación de futuras ediciones, pero es algo que el futuro alumno debe tener en cuenta. La segunda cuestión, más filosófica, es que el texto es escaso en cuanto a cálculos y ejemplos. Aparte de una sección sobre el álgebra de Steenrod y otra con una breve exposición de la secuencia espectral de Adams, FOUNDATIONS dedica casi todo su tiempo a desarrollar la teoría, con muy pocos ejemplos explícitos. La teoría computacional de la homotopía estable es un tema en sí mismo, y su inclusión en este libro requeriría nuevos capítulos enteros, pero algunas demostraciones de las construcciones y técnicas que el texto desarrolla ayudarían mucho a su comprensión.

En general, recomendaría encarecidamente este libro para un principiante en la teoría de la homotopía estable. Solo hay que asegurarse de leerlo con un mentor o asesor que pueda ayudar a entender las secciones más difíciles, compensar la relativa escasez de ejemplos y detectar errores.