Véase también esta publicación mía en MO: Función generadora ordinaria para Mobius .
La respuesta a su pregunta es no incluso en el caso de convergencia puntual y continua en $\mathbb{T}$ .
Modificamos ligeramente la función generadora ordinaria de la función de Mobius. Sea $$ f(z)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}n z^n. $$ El radio de convergencia de la serie es $1$ También el siguiente argumento muestra la convergencia en $\mathbb{T}$ . Dejemos que $A_{\theta}(t)=\sum_{n\leq t} \mu(n)e^{2\pi i n \theta}$ . Por suma parcial, $$ \begin{align} \sum_{n\leq x} \frac{\mu(n)}n e^{2\pi i n \theta} &=\int_{1-}^x \frac1t dA_{\theta}(t)=\frac{A_{\theta}(t)}t \Bigg\vert_{1-}^x +\int_1^x \frac{A_{\theta}(t)}{t^2}dt \end{align} $$
Por Teorema de Davenport para cualquier $h>10$ y uniformemente para $\theta\in\mathbb{R}$ , $$ A_{\theta}(t) = O\left( \frac t{\log^h t}\right). $$ La constante implícita en el big-oh es absoluta. Tomando $x\rightarrow\infty$ , $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}n e^{2\pi i n \theta} = \int_1^{\infty} \frac{A_{\theta}(t)}{t^2}dt, $$ la integral converge absolutamente.
Arreglar $\theta_0\in\mathbb{R}$ . Por la uniformidad en el teorema de Davenport y el Teorema de Convergencia Dominada, tenemos $$ \lim_{\theta\rightarrow\theta_0} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}n e^{2\pi i n \theta}=\lim_{\theta\rightarrow\theta_0}\int_1^{\infty} \frac{A_{\theta}(t)}{t^2}dt=\int_1^{\infty} \frac{A_{\theta_0}(t)}{t^2}dt = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}n e^{2\pi i n \theta_0}. $$ Por lo tanto, tenemos la convergencia de $f(z)$ para cualquier $z\in \mathbb{T}$ y el límite puntual es continuo en $\mathbb{T}$ .
Sin embargo, esta serie no es absolutamente convergente. Para ver esto, considere $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\mu(n)|}n = \infty. $$
