Convergencia de una subsecuencia

Question

He leído que :

Si $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ es una serie cuyos términos forman una secuencia positiva monótona decreciente $(a_n)$ entonces converge y diverge con $$ \sum_{k=0}^{\infty}2^ka_{2^k} = a_1 + 2a_2 + 4a_4 + 8a_8 + \cdots $$ Mi pregunta ahora es : Si las condiciones para $(a_n)$ se mantienen como en el caso anterior, ¿podemos argumentar lo mismo para la subsecuencia siguiente $$ \sum_{k=0}^{\infty}3^ka_{3^k} = a_1 + 3a_3 + 9a_9 + 27a_{27} + \cdots $$ o más generalmente para una subsecuencia $$ \sum_{k=0}^{\infty}n^ka_{n^k} = a_1 + na_n + n^2a_{n^2} + n^3a_{n^3} + \cdots $$

Answer 1

Sí, el caso original usando poderes de $n = 2$ se llama típicamente la prueba de condensación de Cauchy. Sin embargo, se puede utilizar cualquier número entero $n \geq 2$ y demuestre que su serie original está limitada por debajo por su serie acortada dada y limitada por encima por $n$ veces ese límite inferior. Así que el "si y sólo si" de la prueba de condensación de Cauchy funciona con cualquier elección de multiplicador $n \geq 2$ , no sólo $n=2$ .

Answer 2

En resumen: sí, el Prueba de condensación de Cauchy sigue funcionando si sustituimos la función creciente $g(k)=2^k$ con cualquier función creciente que cumpla:

$$ A\cdot g(k)\leq g(k+1)-g(k) \leq B\cdot g(k+1) \tag{1} $$ con $A,B$ siendo dos constantes positivas. Basta con comprobar que la demostración en Wikipedia sigue exactamente la misma línea si suponemos sólo $(1)$ en lugar de $g(k)=2^k$ .