Integral de superficie (Por favor, ayúdenme)

Question

Considere una región $V$ limitado por el paraboloide $z=5-4x^2-4y^2$ y el $xy$ -Avión.
La integral de superficie para el campo vectorial $$\vec{F}=\bigtriangledown\times \vec{G}=2\vec{i}+2y^2\vec{j}+z\vec{k}$$ sobre el círculo en el $xy$ - el avión es el 15.
Cuál es el valor de la integral de superficie sobre el paraboloide.

Sé que la respuesta es -15. Pero no tengo ni idea de cómo averiguar la respuesta. ¿Te importaría dar algún consejo para resolver esta cuestión? Muchas gracias.

Answer 1

Este tipo de problema pide a gritos la integración por partes, en particular, el uso de uno de los teoremas que sustituye una integral de superficie por una integral de volumen. El hecho de que el flujo a través de la parte inferior de la superficie sea $15$ y a través del resto es $-15$ debería sugerir que esto tiene que ver con la divergencia del flujo del campo vectorial, porque el flujo total cero significa que su flujo no crea ningún volumen neto en la región. En efecto, su campo vectorial es el rizo de otro, y $\nabla\cdot\nabla\times = 0$ . Entonces... ¿puedes unir las piezas para terminar el problema?