Supongamos que $\{f_n\}$ son funciones medibles de Lebesgue en $[0,1]$ , de tal manera que $\int_0^1 |f_n|\,d\mu=1$ para todos $n$ y $f_n\to 0$ casi en todas partes.
¿Cómo demostraríamos que dado $\epsilon>0$ existe una medida de Lebesgue $E\subseteq [0,1]$ tal que $\mu(E)<\epsilon$ y $$\lim_{n\to\infty}\int_E |f_n|\,d\mu=1$$ ?
Intuitivamente, esto me resulta desconcertante, ya que a partir de la continuidad absoluta de la Integral de Lebesgue $\int_E |f_n|\,d\mu$ debe ser arbitrariamente pequeño cuando $\mu(E)$ se hace pequeña, pero en este caso, la integral alcanza realmente su valor completo.
Intenté usar la contradicción: Supongamos que por el contrario existe $\epsilon>0$ tal que para todo $E\subseteq [0,1]$ , ya sea $\mu(E)\geq \epsilon$ o $\lim_{n\to\infty}\int_E |f_n|\,d\mu\neq 1$ . Pero estoy atrapado aquí.
El lema de Fatou da $\int_0^1 |f|\,d\mu\leq\liminf\int_0^1 |f_n|\,d\mu=1$ que no parece muy útil.
Puedo ver que un ejemplo de $f_n$ es $f_n=n\chi_{[0,1/n]}$ donde básicamente lo que sucede es $f_n$ concentra todo su valor en un ámbito muy reducido.
¡Gracias por cualquier ayuda! Realmente atascado aquí.
