Establecimiento de integrales para los momentos y el centro de masa de una región plana

Question

Problema

Consideremos la siguiente región: un semicírculo de radio = 3 pies sobre un rectángulo de altura = 11. (con densidad constante)

a.) Establezca las integrales para los momentos, Mx, My, y el centro de masa de la región. NO evalúe las integrales.

b.) Utiliza la aditividad de momentos para encontrar el centro de masa de la región.

Progreso

Para la parte a.) asumo que tengo que encontrar Mx y My por separado para el semicírculo y el rectángulo y sumar el Mx del semicírculo y el Mx del rectángulo. ¿Es esa la forma correcta de abordar este problema?

Para el semicírculo $$M_x = \int _{-3}^3\:\frac{1}{2}\left(\sqrt{3^2-x^2}\right)^2 dx$$ $M_y= 0$ debido a la simetría y a la densidad constante.

$M_i= 3\pi $ para el rectángulo creo que tengo que averiguar qué $f\left(x\right)$ es. ¿Cómo lo haría?

Answer 1

Establezcamos los ejes de coordenadas de forma que el origen esté en el centro del diámetro de la semicircunferencia, por lo que la semicircunferencia viene dada por $y=\sqrt{9-x^2}$ como usted tiene, y el fondo del rectángulo está dado por $y=-11$ .

Si tomamos la densidad $\delta=1$ tenemos que

$\displaystyle M_x=\int_{-3}^{3}\frac{1}{2}\left((\sqrt{9-x^2})^2-(-11)^2\right)dx=-\frac{1}{2}\int_{-3}^{3}\left(112+x^2\right)dx$ ,

$\displaystyle M_y=\int_{-3}^{3}x\left(\sqrt{9-x^2}-(-11)\right)dx=0$ ,

así que $\displaystyle\overline{x}=\frac{M_y}{m}=0$ $\;\;\;$ y $\;\;\;$$ \displaystyle\overline{y}=\frac{M_x}{m}=\frac{-\frac{1}{2}\int_{-3}^{3}(112+x^2)dx}{\int_{-3}^{3}\left(\sqrt{9-x^2}-(-11)\right)dx}$.

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Para la parte b), podemos utilizar

$\displaystyle M_x=\frac{1}{2}\int_{-3}^{3}(9-x^2)dx=\int_0^3(9-x^2)dx=\left[9x-\frac{x^3}{3}\right]_0^3=18$ para el semicírculo

y $M_x=dm=(-\frac{11}{2})(11)(6)=-363$ para el rectángulo; así que

$\;\;\;\displaystyle\overline{y}=\frac{M_x}{m}=\frac{-363+18}{\frac{1}{2}\pi(3)^2+6(11)}=-\frac{230}{3\pi+43}$