Tratando de entender por qué el área del círculo no es $2 \pi r^2$

Question

Entiendo el razonamiento de $\pi r^2$ para el área de un círculo, sin embargo, me gustaría saber qué hay de malo en el razonamiento siguiente:

El área de un cuadrado es como una línea, la altura (una dimensión, la longitud) colocada varias veces al lado del cuadrado todo el camino hasta la longitud del cuadrado así tenemos altura x longitud para el área.

El área de un círculo podría pensarse en una línea (El radio) colocada al lado de la otra varias veces como para formar un círculo. Dado que la circunferencia de un círculo es $2 \pi r$ tendríamos, por el mismo razonamiento anterior, que $2 \pi r^2$ . ¿Cuál es el problema de este razonamiento?

Las líneas colocadas una al lado de la otra sólo irían rectas como un rectángulo por lo que habría que separarlas en uno de los extremos para poder formar un círculo por lo que creo que el problema está ahí. ¿Alguien podría explicar el problema en el razonamiento anterior?

Answer 1

Para cada forma, como un cuadrado o un círculo, que para un tamaño suficientemente grande $n$ se puede dividir en líneas de espesor de una anchura aproximada $\frac{1}{n}$ se puede encontrar una función que asigne a cada número entero positivo suficientemente grande $n$ un par ordenado cuyo primer componente es una de esas divisiones de parte con área de solapamiento cero y cuyo segundo componente es una relación de longitud a área donde la longitud se considera equivalente a un área $\frac{1}{n}$ veces esa longitud, de manera que como $n$ se acerca a $\infty$ el área no rellenada de la división se aproxima a cero. Esto significa que a medida que $n$ se acerca a $\infty$ Si el área correspondiente a la longitud de dicho desdoblamiento se aproxima al área de la circunferencia, si el área no rellenada por el desdoblamiento se aproxima a cero y el área de solapamiento sigue siendo cero. Si se lleva el desdoblamiento a $2\pi n$ veces un número que se aproxima a 1 líneas igualmente espaciadas que van desde el borde hasta el centro del espesor $\frac{1}{n}$ entonces no es el caso de que el área de superposición en la división sea cero.