Tratando de entender por qué el área del círculo no es $2 \pi r^2$

Question

Entiendo el razonamiento de $\pi r^2$ para el área de un círculo, sin embargo, me gustaría saber qué hay de malo en el razonamiento siguiente:

El área de un cuadrado es como una línea, la altura (una dimensión, la longitud) colocada varias veces al lado del cuadrado todo el camino hasta la longitud del cuadrado así tenemos altura x longitud para el área.

El área de un círculo podría pensarse en una línea (El radio) colocada al lado de la otra varias veces como para formar un círculo. Dado que la circunferencia de un círculo es $2 \pi r$ tendríamos, por el mismo razonamiento anterior, que $2 \pi r^2$ . ¿Cuál es el problema de este razonamiento?

Las líneas colocadas una al lado de la otra sólo irían rectas como un rectángulo por lo que habría que separarlas en uno de los extremos para poder formar un círculo por lo que creo que el problema está ahí. ¿Alguien podría explicar el problema en el razonamiento anterior?

Answer 1

La cuestión principal es que no se forma un área colocando líneas uno al lado del otro hay que colocar tiras al lado del otro. Como usted dice, para formar un $a\times a$ cuadrado, puede colocar $n$ tiras de dimensión $a\times w$ al lado del otro, donde $w=a/n$ , lo que da una superficie total $naw=a^2$ .

Su sugerencia equivale a formar el área de un círculo de radio $r$ colocando $n$ tiras de dimensión $w\times r$ próximos entre sí radialmente, donde $w=2\pi r/n$ , dando la zona $nrw=2\pi r^2$ . Pero mira lo que pasa si haces esto:

El problema es que las tiras se superponen, por lo que el área total del $n$ es mayor que el área del círculo. Si ejecutas la animación (recargando la página, si es necesario) puedes convencerte de que en el $n\rightarrow\infty$ límite, la mitad de cada franja contribuye a la superficie final. (Obsérvese que, a medida que se añaden tiras en el sentido contrario a las agujas del reloj, aproximadamente la mitad de cada tira queda cubierta por las siguientes).

Podemos solucionar el problema de las franjas superpuestas más fácilmente utilizando triángulos de base $w$ y la altura $r$ en lugar de rectángulos:

Esto da la superficie $\frac{1}{2}nrw=\pi r^2$ .

Answer 2

El problema con ese razonamiento es que cuando se muestra el área de un rectángulo dividiendo la longitud y la altura del rectángulo en unidades, las unidades de longitud y altura forman cuadrados. Al girar el radio alrededor del círculo en un número determinado de grados para dividirlo no se obtienen cuadrados; estos cortes son más bien triángulos. Recordemos que el área de un triángulo es $\dfrac{bh}{2}$ Las matemáticas son un poco más complejas, pero se puede establecer un paralelismo entre el área de un círculo y la de un rectángulo. En igualdad de condiciones, el área del rectángulo es el doble de la del triángulo, por lo que el área de una forma dividida en un número de triángulos congruentes será la mitad del área de una forma dividida en el mismo número de rectángulos de la misma longitud y altura que los triángulos.

La matemática real para demostrar el área de un círculo está muy relacionada con esto, pero incorpora un concepto adicional del cálculo:

Para cualquier $n$ , dibujar un $n$ -gon (hexágono, octágono, hectogono, etc) alrededor de un círculo de radio $r$ . Cada lado de esta forma tendrá una longitud $s$ y $s*n > 2\pi r$ el perímetro del n-gon será mayor que la circunferencia del círculo (recordemos que $\pi = \dfrac{c}{d}, d=2r \therefore c=2\pi r$ ). Sin embargo, como $n$ aumenta, $s$ disminuye, y el perímetro del n-gon se acercará a la circunferencia del círculo. Nunca llega a serlo para cualquier n pero se acerca lo suficiente, permitiéndonos definir lo que se conoce en cálculo como límite: $\lim_{n\to \infty}ns = 2\pi r$ .

Ahora, para cada lado del n-gon, podemos definir un triángulo isoceleste entre los vértices del lado y el centro del círculo. Los lados simétricos de este triángulo tienen la longitud $l$ que es $>r$ (porque la línea conecta con el vértice del n-gon, fuera del círculo) pero, de manera similar a la forma $ns$ se acerca a $2\pi r$ , $l$ se acerca a $r$ como $n\to \infty$ . Este triángulo isóceles de base $s$ y la altura $r$ puede dividirse en dos triángulos rectángulos con base $s/2$ y la altura $r$ . El área de un triángulo rectángulo es $\dfrac{bh}{2}$ como se ha dicho anteriormente, por lo que el área del triángulo de las isóceles es dos de ellas, o $2*\dfrac{\dfrac{s}{2}r}{2}= \dfrac{sr}{2}$ . Hay $n$ de estos triángulos, uno por lado, por lo que el área del n-gon es $\dfrac{nsr}{2}$ . Por último, recordemos nuestro límite; como $n\to\infty$ , $ns\to 2\pi r$ . El límite nos permite equiparar estos dos en el caso general que estamos considerando, donde para nuestros propósitos $n=\infty$ ; $ns=2\pi r$ . Introdúcelo en el área del n-gon, y mira: $\dfrac{nsr}{2} = \dfrac{(2\pi r)r}{2} = \dfrac{2\pi r^2}{2} = \pi r^2$ .

QED.

Answer 3

OK - así que el corazón de su intuición está vinculando el área con la longitud de la línea requerida para llenar esa área. Es como sombrear un cuadro con un bolígrafo.

Tomemos el ejemplo de tu cuadrado: al final, cuando has dibujado todas tus líneas, has sombreado toda el área. Así que si sabes cuánta tinta has utilizado de tu bolígrafo, conoces el área: has sombreado el área más o menos uniformemente, así que la cantidad de tinta que has utilizado es proporcional al área.

Sombras desiguales:

Sin embargo, cuando dibujas las líneas de tu círculo, pasas por encima de los trozos del centro bastantes veces. De hecho, el centro del círculo se repite una cantidad ridícula de veces, porque todas las líneas que dibujas empiezan o terminan allí. Sin embargo, en los bordes del círculo, las líneas están mucho más espaciadas.

La intuición que estás utilizando se basa en la idea de que estás sombreando la zona de manera uniforme. Si estás garabateando repetidamente sobre un área (el centro), entonces usar la longitud de tus líneas no te da una estimación precisa del área de la forma.

Cómo solucionarlo:

Por lo tanto, para obtener una intuición similar para el círculo, es necesario hacer un boceto a través del área de manera uniforme. Hacerlo con líneas rectas es más complicado, geométricamente hablando. En su lugar, intenta pensar en dibujar círculos concéntricos, de dentro a fuera.

Ahora, imagina que cada vez que dibujas un círculo, dibujas una línea recta de la misma longitud en otra hoja de papel. Cuando hayas dibujado todos los círculos, el otro trozo de papel debería tener un triángulo sombreado, e incluso puedes utilizar la fórmula del área de un triángulo para obtener $\pi r^2$ .

Answer 4

Este es un enfoque similar. Dividir el radio en $n$ partes iguales, y forman círculos concéntricos de radio $0, \frac{r}{n}, \frac{2r}{n},...,r$ . Piensa en la sección transversal de una cebolla. A continuación, estima el área desenrollando cada círculo, aproximando su área mediante una franja rectangular de longitud dada por el radio exterior y la anchura $\frac{r}{n}$ y sumando el lote. Entonces deja que $n \to \infty$ para mejorar la aproximación.

Esto da $A \approx 2 \pi r \frac{r}{n} + 2 \pi (r-\frac{r}{n}) \frac{r}{n} + \cdots + 2 \pi \frac{1}{n} \frac{r}{n} = 2 \pi \frac{r}{n}r (1+ (1-\frac{1}{n})+ \cdots + \frac{1}{n})$ que da la estimación $A \approx 2 \pi r^2 \frac{1+ \frac{1}{n}}{2}$ . Al tomar los límites se obtiene $A = \pi r^2$ , según se desee.

Tenga en cuenta que el $\frac{1}{2}$ aparece porque está sumando $1+ (1-\frac{1}{n})+ \cdots + \frac{1}{n}$ . Si se trazan líneas de longitudes $1$ , $1-\frac{1}{n}$ etc. apilados unos sobre otros, se ve que se aproximan a un triángulo. El área de un triángulo es la mitad de la del rectángulo "equivalente". Esto explica la "desaparición" del 2 en la fórmula.

Answer 5

En realidad, puedes utilizar tu método, pero tienes que tener un poco de cuidado. Empieza con un círculo de radio $r$ centrado en el origen. Podemos pensar que el área total del círculo es la suma de las "longitudes" de todas las circunferencias centradas en el origen que tienen un radio $x \leq r$ :

$$\text{Area of Circle} = \int_0^{r} 2 \pi x~\textrm{d}x = \pi r^2$$

En realidad, estamos aproximando la circunferencia de cada círculo por un anillo de pequeña anchura, y dejando que esa anchura tienda a cero.

Este método también funciona para encontrar el área del cuadrado. Supongamos que tenemos un cuadrado centrado en el origen. Entonces, el área del cuadrado es el perímetro de cada cuadrado centrado en el origen que tiene una longitud de lado $x < r$ .

$$ \text{Area of Square} = \int_{-r/2}^{r/2} 4x dx = r^2. $$

La razón por la que esto no funciona de la manera que pensabas originalmente es que para añadir radios "engordados" alrededor del círculo, los radios engordados se superponen, y así estás contando de más.